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e quindi le sue radici complesse, se ne ha, sono a coppia coniugate ; se <»i 

 ed ca 2 sono due tali radici complesse coniugate (e quindi co x =}= w 2 ), è subito 



visto che nelle (3i), (4 2 ) possono x^ , yf> prendersi complesse coniugate, 

 = ; ed allora la (5), fattovi r = 1 , s = 2 , diventa : 



(6) B{x (l) , x m ) = /Vv 4" ^" = • 



Sia ora la B parzialmente defluita rispetto alle X\ , x 2 , x m ; la (6) di- 

 mostra che deve allora aversi : 



v,(D -V.U) . ™<D o 



In tale ipotesi le equazioni (3 X ) sono dunque tali che per qualunque loro 



soluzione deve essere x{ 1} = x 2 i} = ... = x$ = 0; e quiadi, ove la radice co l 



renda il determinante (2) di caratteristica r <^n , essa deve rendere di ca- 

 ratteristica r — m la matrice formata dalle ultime re — m righe (o colonne) 

 del determinante stesso. 



Consideriamo ora il caso che la B contenga solo le variabili x x ... x m , y x ... y m 

 e quindi sia rispetto ad esse totalmente definita : la condizione superiore non 

 può essere allora soddisfatta (purché il determinante (2) non sia identica- 

 mente nullo, per qualunque co), poiché la matrice delle ultime n — m righe 

 è indipendente da co ed ha quindi la caratteristica n — m. D'altronde è sempre 

 possibile trasformare la B in una forma di Hermite definita in tutte le va- 

 riabili che contiene. Ne segue il teorema fondamentale: 



I. Se A e B sono due forme di Hermite di prima specie ed una 

 di esse, ad es. la B non è indefinita, l'equazione: 



(2) \a v . s — 0)0^1 = (/x , v = 1 , 2 ... n) 



ha tutte le radici reali. 



Considerando insieme colla forma A — coB le forme bilineari ad essa 

 associate ('), ed estendendo un procedimento già tenuto dal Clebsch in un 

 caso particolare ( 2 ), si dimostra anche: 



II. Una radice multipla di ordine q della equazione (2) rende il 

 determinante D(w) di caratteristica n — q. 



(') Cfr. Niccoletti, Atti dell'Accademia di Torino, 15 giugno 1902. 

 (2) Clebsch, Giornale di Creile, Bd. 62, pag. 232 segg. 



