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Indichiamo con Di, i,...^ (co) il minore principale di ordine n — k del 

 determinante (2), che si ottiene sopprimendovi le righe e le colonne i 2 ... 4 ; 

 sia inoltre r t l'unità negativa o positiva, secondochè B è positiva o negativa 

 (per valori complessi coniugati delle variabili, che non l'annullino); ponendo: 



(7) A ,,„.i» («) = IV ..,»(«) 



ed indicando con 2, ... i n una determinata permutazione degli indici 1,2... n, 

 consideriamo la successione di n -f- 1 funzioni : 



(8) dm, AW. ^ lis M,...^ iI ... i „M==i; 



si ha per essa il teorema: 



III. £0 tra le funzioni (8) «o« ve ne sono delle identicamente nulle, 

 ne due qualunque consecutive si annullano per uno stesso valore di co , 

 la (8) è una successione di Slum per la equazione (2) e quindi il nu- 

 mero delle radici reali di essa equazione comprese in un intervallo («/?) 

 (ciascuna contata col suo ordine di moltiplicità) è uguale al numero delle 

 variazioni che la (8) perde nell'intervallo stesso ('). 

 3. Alcune osservazioni sui risultati che precedono. 



a) Particolarizzando convenientemente le forme A e B , si hanno 

 dalla (2) delle classi di equazioni, apparentemente diverse, con radici tutte 

 reali, considerate, tra gli altri, da Bochardt, Glebsch, Christoffel ecc. ecc. ( 2 ). 



b) I teoremi I e II possono evidentemente enunciarsi dicendo che : 

 1 divisori elementari del determinante D(w), corrispondenti alle radici 

 finite della (2), sono reali e lineari ( 3 ) ; si ottiene in tal guisa la prima 

 parte di un teorema, ottenuto la prima volta, per via trascendente, dal 

 sig. Gundelfinder ( 4 ). Il teorema del sig. Gundelfinder considera anche i di- 

 visori elementari corrispondenti alle radici infinite della (2) e dimostra che 

 essi possono avere solo il primo ed il secondo grado. Delle proprietà ele- 

 mentari della teoria dei determinanti permettono di ottenere (e precisare) 

 questo risultato : si ha così in ciò che precede una dimostrazione puramente 

 algebrica, e di carattere elementare, del teorema del sig. Gundelfinder. 



c) Delle due forme di Hermite A e B, una B sia di prima specie, 

 l' altra A di seconda. Ci riduciamo al caso dianzi trattato cambiando co in ico. 

 Se dunque la B non è indefinita, la equazione (2) ha in questo caso tutte 

 radici immaginarie pure. Essa avrà inoltre i coefficienti reali quando sian 



(') Weber, Algebra, voi. I, prima ediz., pag. 276. 



(*) Clebsch, Giornale di Creile, Bd. 57, pag. 327; e 62, pag. 232. Christoffel — 

 ibidem Bd. 63, s. 255. 



( 3 ) Muth, Elementartheiler, pag. 179. 



( 4 ) Hesse, Vorlesungen aus der analytischen Geometrie, seconda ediz., 1876, supp. X. 



