tali i coefficienti di A e di B, quando la B sia dunque reale e simmetrica 

 (e non indefinita), la A reale ed emisimmetrica. In questo caso la (2) può 

 ridursi a contenere solo le potenze pari di co e posto w 2 = — u, si ottiene 

 da essa un'equazione H(m) = a radici tutte reali e positive. 



d) L' equazione (2) conserverà tutte le radici reali, quando, nelle ipo- 

 tesi superiori, o se ne moltiplichi il primo membro per un fattore non nullo, 

 ad es. per un determinante di ordine n indipendente da co e diverso da zero, 

 oppure quando si eseguiscano sulle x e sulle y sostituzioni lineari arbitrarie. 

 Si ottengono così delle equazioni a radici tutte reali di forma molto diversa 

 dalla (2) : tra queste ve ne è una classe, dovuta ancora al sig. Gundelfinder 



e) Infine delle due forme bilineari A e B, l'ima, ad es. la B sia di 

 Hermite, di prima specie, e definita; la A sia qualunque. La (2) avrà al- 

 lora in generale coefficienti e radici complesse, ma se ne può limitare la 

 parte reale e l'immaginaria; più in generale si ha il teorema: 



Se la B è una forma definita di Hermite, ed w=p-\-iq è una 

 radice della (2), indicando con q e a due indeterminate reali affatto 

 arbitrarie, con M p(J , la massima e minima radice dell' equazione {a ra- 

 dici tutte reali) : 



(9) 



= 0, 



2i 



si ha la limitazione : 



(10) m ?a <Qp + oq< M p * ( 2 ). 



4. I teoremi che precedono possono estendersi in due sensi diversi, sia 

 rimanendo nel caso di una sola equazione, sia passando a sistemi di più 

 equazioni. Ci limiteremo ad accennare i casi più importanti che si presen- 

 tano nell'una e nell'altra estensione. 



Siano tre forme di Hermite in 2n variabili x x x 2 — x n , y x y 2 — y n '• 



(11) A = $[j.v %[x y~i ? B — xp y^i \ C — - ^ij.v <? 3C]x y-> 

 e si consideri l' equazione in co : 



(12) E{to) = \a^ + 2co b^ + co* c^\ = 0. 



Questa equazione ha i coefficienti reali e ad una sua radice co r possono 

 farsi corrispondere due sistemi di equazioni lineari omogenee: 



( 1 3 r ) 2^ + 2av + 4 *p) V 1 = > ( v = 1 » 2 » - n ) 

 (14 r ) 2s, (a^ -f- 2co r b^ -f- o)*«?p) y^ = , (^ = 1,2,... n) 



(') Dingeldey, Giornale di Creile, voi. 119. 



( 2 ) Bedinxon, Sur les racines d'une équation fondamentale (Accademia di Stoccolma, 

 14 novembre 1900). 



