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Se co a = (£ a , »;« ) Ca) è una soluzione (radice) delle (21), i quattro 

 sistemi di equazioni lineari omogenee 



n 



( a ) 2-„ (£<* a ™ + 'fa ^ + £"« tf p) — ' 



1 



(v = 1 , 2 ... ») 



n 



(b) + rj a + ^f 5 = , 



(/i = 1 , 2 ... ») 



(22) 



( c ) X r d rs + é>rs + Ca /rs) W^* 3 = , 



(s= 1 ,2 ... m) 



(<*) Z s (fa <k + 



rs 



+ U frs) V™ = , 



(r = 1 , 2 ... m) 



hanno soluzioni «o» e per due radici co a , distinte si ha la 



relazione fondamentale : 



Le forme (20) siano ora di Hermite di prima specie (o tutte di se- 

 conda). Le (21) hanno i Cuefficienti reali e se w a ,ftjp sono due radici com- 

 plesse coniugate, si può supporre nella (23) che yfò , v r l & siano complesse 

 coniugate di x, (a1 , u/ a> rispettivamente. Si supponga ora, per fare il caso 

 più semplice, che le quattro forme B, C, E, F siano definite, e tre abbiano 

 uno stesso segno, una il segno contrario. La (23) non può allora aver luogo 

 pei valori superiori delle x w , u w , , Ne seguono i due teoremi: 



a) Nelle ipotesi fatte, il sistema delle due equazioni dei gradi n 

 ed m nelle incognite co e 6: 



(24) | «p + « V + | = 0; | d rs + + 6 f rs | = 0, 



ha tutte le radici reali. 



b) Se (oj,0) è una soluzione del sistema: 



(25) | a^oo -j- bpv -f Cp>6 1 = 0; | d rs (o -\- e rs -f- f rs 6 1 = , 



la hi è reale, ed, ove non sia nulla, anche 6 è reale. 



7. Infine le B, C, E, F siano forme di Hermite di prima specie, le A 

 e D di seconda : ci riduciamo al caso antecedente, cambiando f in i£ (od jj 

 e £ in ii) , il) : nelle stesse ipotesi del n. 6 le (24) hanno allora ad es. ra- 

 dici immaginarie pure. Più particolarmente quando le sei forme abbiano i 

 coefficienti reali e quindi le B, C, E, F sian simmetriche, le A e B emi- 

 simmetriche, le (21) hanno i coefficienti reali. 



a) Poniamovi allora £ = 1 , rj = m , f = ooO ; co 2 = — u ; le (21) si 

 cambiano in due equazioni : 



(23) 



(26) 



G(u,e) = 0, H(m,0) = O 



fora radici (u , 6) rwfó e u reale e positivo. 



