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Formiamo le equazioni lineari 





 



e sia Co £n £™ una soluzione di questo sistema ; moltiplicando tutte le 

 (16) e (14) ordinatamente per le £ e sommando, si eliminano le incognite 

 £ e q , e resta : 



(18) f^-I(f»+t»)^-I| : i*^-^+ 



+.2 [Z «" e. + 7. Ito ^] = « 



e, variando le £ , si ha così un sistema di equazioni a derivate parziali 

 cui devono soddisfare A e le ; d'altra parte se A e le C s (che non 

 sieno tutte zero) soddisfanno a tutte le (18), le equazioni lineari (16) (14) 

 ammetteranno una soluzione, ed esisterà una trasformazione infinitesima 

 che lasci invariata U. 



Fermiamoci per poco a considerare i casi nei quali la trasformazione 

 infinitesima 3 sia connessa invariantivamente a U. 



Sia zero la forma covariante C . Fra i sistemi di soluzioni del si- 

 stema (17) esistono sempre quelle per le quali è: 



£ a = Q , C= . (A«=l,...n) , 



e questi sistemi soddisfanno perciò l'equazione 



(19) Zx*£*+X2Xy£y = 



i cui sistemi di soluzioni £ sono i coefficienti delle equazioni a derivate 

 parziali che costituiscono il sistema aggiunto alla forma U (v. il § 4 della 

 mia Memoria negli Annali di Matematica citata in principio); possiamo 

 conchiudere che nel caso indicato, A soddisfa a tutte le equazioni del 

 sistema aggiunto alla forma U. 



Due casi allora sono possibili: o A è costante, ovvero no, nel quale 

 ultimo caso le equazioni del sistema aggiunto devono ammettere una solu- 

 zione comune diversa dalla soluzione evidente f— costante. 



k k i j 



X, £ + \ (k r) £ k + 1 )k riC + II È* 7 r \ k = 



k k i j 



(r = l,2, ...n) , (fy = &) 



