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Per le conclusioni cui siamo pervenuti nella predetta Memoria, questo 

 ultimo caso non può avvenire se non quando il sistema aggiunto è completo, 

 cioè quando la equazione U = è completamente integrabile; d'altra parte 

 se ciò si verifica, avendosi (v. formole (15) del § 1 della stessa Memoria) 



((rk)) _ ((sk)) 

 ((rh)) ((SA))' 



il determinante delle seconde fra le equazioni (15) è zero, e quindi esistono 

 le £ per le quali tutte le C ft , e perciò anche C , sono zero. Concludiamo : 



Perchè esista una trasformazione infinitesima che lasci invariata U, e 

 di cui il covariante simultaneo C sia identicamente zero, mentre non sia 

 costante l'invariante A è necessario e basta che U = sia completamente 

 integrabile, e che A soddisfi a tutte le equazioni a derivate parziali 



(20) t .^_v (tt + M + yy ttf -^_ 



essendo le £ tutte le soluzioni delle (17). 



Se poi A = cost. ma non zero, dalla (18) si vede che deve necessa- 

 riamente essere £ =0, e perchè questa sia una conseguenza delle (17) 

 deve essere diversa da zero (cioè di caratteristica massima) la matrice D t 

 ottenuta da D colla soppressione della prima linea; perciò se D] è zero, 

 deve essere A == . 



In tale ultimo caso le (18) sono tutte soddisfatte, e le (16) (14) diven- 

 tano equazione lineari omogenee, per la cui coesistenza è necessario e basta 

 l'annullarsi identico della matrice D, cioè che D abbia al più caratteri- 

 stica n . D' altra parte, se ciò si verifica, sottraendo in D dagli elementi 

 della 2 a , 3 a , . . . (;z-J-l) ma linea, rispettivamente quelli della (n + 2) ma , 

 (n -j- 3) ma , . . . (2>e — f- l) ma , e tenendo conto delle solite relazioni fra i sim- 

 boli (kr) e \kr\, gli elementi della 2 a , 3 a , ... (n -J- l) ma linea diventano 



0, ((l,k)) , ((2 , k)) , . . . {(nk)) ; (k = 1 , . . . n) 



e poiché deve essere zero la matrice formata colla prima linea di D, con 

 queste n linee e con un' altra qualunque di D , scegliendo per questa una 

 di cui il primo elemento sia diverso da zero, si deduce che deve essere zero 

 la matrice 



X, .fe , • • X M 



((1,*)) ((nk)) 



ik = 1 , . . . n , 



(cioè questa deve avere per caratteristica al più il numero n — 1), e perciò le 

 equazioni omogenee cui si riducono le (15) per A=G = , sono compatibili. 



