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s'écrira a^> b ou a < b — suivant que la difFérence c = a — b, regardée 

 corame fonction de t prend pour des valeurs, suffisamment grandes de t 

 une valeur ou bien toujours positive ou bien toujours negative. En adoptant 

 cette convention, il est possible de ranger par ordre de grandeur les nombres 

 de notre système numérique complexe, suivant une distribution analogue à 

 celle que l'on emploie pour les nombres réels; on reconnait aisément aussi 

 que les tbéorèmes qui consistent à dire que les inégalités subsistent, lorsque 

 à cliacun de leurs membres on ajoute un méme nombre ou lorsqu'on y 

 multiplie chaque nombre par un méme nombre ^> 0, sont également vérifiés 

 dans notre système numérique complexe. Maintenant, si l'on désigne par n 

 un nombre entier positif rationnel quelconque, il est clair que pour les 

 deux nombres n e t du domaine Si(t) l'inégalité n<C.t sera vérifiée, car la 

 difFérence n — t regardée comme Fonction de t sera toujours négative pour 

 des valeurs positives de t suffìsamment grandes. Nous exprimerons ce Fait 

 comme il suit: Les deux nombres 1 et t du domaine Si(t), qui tous deux 

 sont >0, jouissent de la propriété qu'un multiple quelconque du premier 

 sera toujours plus petit que le second de ces nombres ». 



Però il proF. Hilbert, sebbene dichiari essergli noto che la stessa que- 

 stione Fu trattata precedentemente dal proF. Veronese, non s'intrattiene in 

 un conFronto tra la sua geometria e quella di Veronese; e poiché un tale 

 conFronto mette in chiaro una stretta relazione tra le due teorie, non cre- 

 diamo inutile l' occuparcene nella presente Nota riservandoci di trattarne con 

 maggiori particolari in un'altra pubblicazione. Sarà opportuno per ciò il 

 prender le mosse dalla costruzione di un campo numerico più ampio del 

 campo Sì(t), servendoci del procedimento dello stesso Hilbert, però alquanto 

 generalizzato. 



2. Volendo entrar subito in argomento, consideriamo il campo degli 

 elementi definiti dalla seguente espressione nella lettera x: 



«i x Wn -f- a% A M n-i -j- ■ • • -j_ a n x m ' 

 bi x w ' m -j- IL ^ <0 '»'-i -J- • •• -f- b m xto[ 



nella quale d\ , « 2 , ... , a n , bi , b 9 ., ... , b m sono numeri reali; oo„ ... ìmj , w m ... o\ 

 od anche espressioni ottenute precedentemente dalla espressione data. 



Indichiamo con r(x) il campo di elementi (numeri) così definiti. 



Poiché è Facile persuadersi che, le considerazioni e le definizioni Fatte 

 dal sig. Hilbert, possono trasportarsi immediatamente al nostro campo, po- 

 tremo enunciare le seguenti proprietà Fondamentali del campo r(x) : 



a) 11 campo r(x) è ordinabile, 



b) costituisce un corpo rispetto alle operazioni di addizione, sottra- 

 zione, moltiplicazione e divisione, 



