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c) e valgono per queste le proprietà fondamentali del calcolo alge- 

 brico. 



d) Inoltre adoperando note denominazioni, nel campo r (x) esistono 

 elementi che hanno il carattere di infiniti ed infinitesimi attuali rispetto ai 

 numeri reali, che evidentemente sono contenuti nel campo r{x). Basta in- 

 fatti confrontare fra loro, secondo il criterio ordinativo del sig. Hilbert, gli 

 elementi x~ x , x~ n , x~ l , a , x , x n , x x . 



3. Ora da questo campo di numeri si può dedurre quello dei numeri 

 infiniti e infinitesimi del prof. Veronese. Consideriamo infatti la espressione, 

 che si ottiene dalla nostra supponendovi : , a 2 , ••• , a n interi, e di più a x 

 positivo ; b x = b 2 = " " = b m -i = , b m = ì; a>[ — ; «„ , »„_j , ... «j interi 

 e positivi (co, anche zero) e disposti in ordine decrescente, oppure espressioni 

 ottenute precedentemente da quella ora definita, e così via. 



È ovvio che la espressione così ottenuta equivale al simbolo Z del 

 prof. Veronese pei numeri interi e positivi finiti e infiniti di ordine finito 

 ed infinito ; anzi, posto in essa 



ax w = a cci , 



si trasforma identicamente in esso. Risulta immediatamente che, questo 

 campo, quando anche si affettino i suoi elementi dei segni -(-e — colle 

 solite convenzioni, costituisce un corpo rispetto alle operazioni di addizione, 

 sottrazione e moltiplicazione, e che queste operazioni godono delle proprietà 

 fondamentali del calcolo algebrico. 



Ancora: il campo, i cui elementi sono definiti dalla nostra espressione 

 quando i suoi termini sono elementi del campo ora considerato equivale al 

 campo dei numeri frazionari positivi e negativi del prof. Veronese ; ed è fa- 

 cile persuadersi che esso costituisce un corpo rispetto alle quattro operazioni 

 di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, e che per queste ope- 

 razioni valgono le proprietà fondamentali del calcolo algebrico. 



Voleudo ottenere dal nostro campo r( c) un campo equivalente al con- 

 tinuo relativo all' unità fondamentale del prof. Veronese, pel quale cioè val- 

 gano le ipotesi I-VI, basterà supporre nella nostra espressione a, , a 2 , ... a„ 

 numeri reali ; b x — b 2 ■-=■■■ — b m - = ; b m — 1 ; a>\ = ; w n , w, M , ... w, 

 espressioni equivalenti al simbolo Z, sopra nominato. 



Si otterrà infine un campo numerico che rispecchi il continuo rettilineo 

 dato da tale ipotesi (I-VII) procedendo così: si consideri dapprima il campo 

 numerico definito dalla nostra espressione quando in essa si supponga 

 «i , a 2 , ... a n numeri reali; co n co i espressioni equivalenti al sim- 



bolo Z affetto dai segni -f- o — ; bx = b 2 = --- = b m ^i = ; b m — \; co[ = 0. 



Evidentemente otteniamo così un campo contenuto in quello del prof. Ve- 

 ronese senza però averlo esaurito completamente; occorrerà a tal uopo defi- 



