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nire le ripartizioni in due classi contigue (') del campo che abbiamo or ora 

 considerato e stabilire che ad ognuna di esse corrisponda uno ed un solo 

 ente. È facile persuadersi che questo campo costituisce un corpo rispetto 

 alle quattro operazioni fondamentali, e che per queste valgono le proprietà 

 del calcolo algebrico. 



Infine osservando che l'espressione frazionaria dell'Hilbert, ottenuta 

 mediante le prime quattro operazioni, è in casi particolari un funzionale 

 intero, e che pei funzionali interi è stata svolta una teoria analoga a quella 

 dei numeri primi, concludiamo che i numeri infiniti e infinitesimi corrispon- 

 denti del Veronese costituiscono un campo pel quale è già stata fatta una 

 teoria, diremo, dei numeri primi, quella stessa che è stata fatta pei funzio- 

 nali interi. Ricordiamo anche la relazione tra i funzionali interi e gli ideali 

 di Kummer-Dedekind, la quale ci dà una relazione tra ideali e i particolari 

 numeri del Veronese ai quali abbiamo accennato. 



4. Vogliamo ora notare le differenze tra il procedimento del sig. Hilbert 

 ed il nostro, per mostrare con qualche particolare il legame esistente tra il 

 campo numerico di Hilbert e quello di Veronese. 



È chiaro anzitutto, che il procedimento del sig. Hilbert dà soltanto un 

 campo di numeri infiniti ed infinitesimi di ordine finito, giacché egli sup- 

 pone gli esponenti di oc numeri interi; mentre il nostro dà un campo di 



(') Per essere un po' più espliciti su questo punto, anche perchè esso fu causa di 

 malintesi, e quindi di critiche errate, diremo di che natura siano le classi contigue, che 

 noi consideriamo. 



Dedekind dà una definizione del postulato della continuità sostanzialmente equiva- 

 lente al seguente: 



« Se (Pi P 2 ) è una sezione fatta nella retta esiste sempre nella retta stessa un punto 

 P, che non appartiene ne alla classe Vi , nè alla classe P 2 ; e quindi separa i punti delle 

 due classi, essendo a destra di ogni punto della prima e a sinistra di ogni punto della 

 seconda classe ». 



E noto d'altra parte come, ammesso questo postulato, il postulato d'Archimede possa 

 essere dimostrato. Ne segue che ammesso un tal postulato la retta è essenzialmente 

 archimedea, e quindi sono impossibili le ipotesi sui segmenti infiniti ed infinitesimi attuali. 



Partiamoci ora invece da quest'altra definizione (Veronese F. G.). 



De fini z. « Un segmento cogli estremi variabili in versi apposti (XX') che diventa 

 più piccolo di ogni segmento dato, diremo che diventa indefinitamente piccolo e poniamo 

 il seguente postulato (Veronese F. Gr.). 



« Ogni segmento cogli estremi variabili in versi opposti che diventa indefinita- 

 mente piccolo contiene un elemento fuori del campo di variabilità dei suoi elementi ». 



Dal confronto dei due diversi postulati del continuo rettilineo si deducono facil- 

 mente le seguenti proposizioni: 



l a . Ogni ripartizione dei punti della retta in due classi definite in modo da sod- 

 disfare al postulato di Veronese è anche una sezione. 



2 a . Viceversa una sezione può non soddisfare al postulato di Veronese. 



3 a . Rimanendo nel campo finito le due ipotesi si equivalgono, cioè il postulato di 

 Dedekind equivale al postulato di Veronese. 



