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numeri infiniti ed infinitesimi anche di ordine infinito, pel fatto che noi 

 abbiamo supposto gli esponenti di x anche espressioni, ottenute precedente- 

 mente da quella costruita con esponenti numeri interi (veramente numeri 

 reali, che poi, per ottenere il campo del prof. Veronese, abbiamo supposti 

 interi). Ma il nostro procedimento del n. 3 differisce da que llo di H ilbert 

 anche pel fatto che noi non ci serviamo della operazione y 1 -j- co 2 ; però 

 se ci riferiamo al campo di numeri equivalente a quello di Veronese, che 

 noi abbiamo dedotto dal nostro campo r(,v) particolareggiandolo e introdu- 

 cendo una nuova ipotesi (la corrispondenza di uno ed un unico ente ad ogni 

 ripartizione in due classi contigue del campo equivalente al continuo del 

 prof. Veronese dato dalle ipotesi 1-VIII), noi possiamo subito persuaderci 

 che in questo campo tale operazione è possibile. Da queste osservazioni, e 

 da altre facili a farsi, risulta che il campo di numeri del sig. Hilbert è 

 compreso nel campo di numeri del prof. Veronese ('). 



La circostanza poi che il campo di Hilbert e quello di Veronese costi- 

 tuiscono ambedue un corpo rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione, 

 moltiplicazione, divisione ed in essi è possìbile anche la quinta \/l -j- co 2 (-), 

 ci permette di affermare pel campo del prof. Veronese ogni risultato otte- 

 nuto dal prof. Hilbert pel suo campo a mozzo di questa sola caratteristica 

 di esso. Ora siccome Hilbert, nel suo citato lavoro, dimostra, a mezzo del 

 fatto accennato, che il suo campo di numeri serve alla costruzione di un 

 sistema geometrico nel quale sono verificati tutti i suoi postulati ad ecce- 

 zione di quello di Archimede (da non confondersi secondo Veronese con quello 

 della continuità) potremo affermare che il sistema geometrico di Hilbert è 

 compreso in quello di Veronese ( 3 ). 



(') Le espressioni frazionarie di Hilbert che non si possono ottenere colle sole ipo- 

 tesi I-VII di Veronese si ottengono appunto mediante due classi contigue (ip. Vili). 



( 2 ) Si può verificare la possibilità dell'operazione yl -j- tu 2 nel campo del prof. Ve- 

 ronese, costru endo du e classi contigue che definiscono per ciò un elemento corrispondente 

 al numero yl -(- ui" ■ 



( 3 ) Vi è solo questa differenza che il prof. Veronese nel suo sistema geometrico 

 non archimedeo ammette la forma sferica Eiemanniana ed allora ci dimostra, come fece 

 il prof. Levi-Civita, che in ogni campo infinitesimo rispetto all'unità Eiemanniana vale 

 l'ipotesi Euclidea, mentre Hilbert ammette la forma Euclidea. Ma tale forma per ciò che 

 si è detto può essere assunta anche coi numeri di Veronese. 



