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di Ci passa una curva del fascio (C 2 ), la quale interseca la c[ in un punto ; 

 e per questo passa una curva del fascio (C 3 ), la quale interseca la d in un 

 punto A'. Se sulla d facciamo corrispondere al punto A il punto A', otte- 

 niamo, al variare di A, una corrispondenza fra i punti di c l , la quale è al- 

 gebrica e biunivoca, cioè birazionale. Se allora, tenuta fìssala c 1 , facciamo 

 variare nel fascio (Ci) la curva c\ , concludiamo che la curva c x ammette 

 su sè stessa una semplice infinità continua di trasformazioni birazionali; 

 onde, per un notissimo teorema dello Schwarz (•), risulta che la C\ è una 

 curva di genere zero o di genere uno. 



Poiché il medesimo ragionamento si può applicare anche alle curve 

 generiche dei fasci (G 2 ) e (C 3 ) abbiamo intanto che i tre fasci (Ci), (C 2 ), (C 3 ) 

 sono costituiti ciascuno da curve razionali o ellittiche. 



Ma, facendo corrispondere su due curve qualsiansi di diverso fascio i 

 punti di intersezione con una medesima curva variabile nel fascio rimanente, 

 troviamo che due curve quali si vogliano, appartenenti a due fasci diversi, 

 sono fra loro in corrispondenza birazionale, onde si conclude che le curve 

 dei tre fasci sono tutte insieme o razionali o ellittiche. 



Il primo caso si può senz' altro considerare come esaurito, come quello 

 che, per un classico teorema del Nòther ( 2 ) conduce alle superficie razionali, 

 sulle quali esistono infinite reti omaloidiche di curve. Si può notare che sopra 

 una superficie razionale tre fasci quali si vogliano di curve unisecantisi ap- 

 partengono a due reti omaloidiche, come nel piano rappresentativo tre fasci 

 di rette appartengono alla rete delle rette e a quella delle coniche pei tre 

 vertici di essi. 



Passiamo ad esaminare il caso di una superficie algebrica S , su cui 

 esistano (almeno) tre fasci (Cj), (C>), (C 3 ) di curve ellittiche unisecantisi. 

 Fissate due curve C\ , c 2 appartenenti a due fasci diversi, p. es. a (C,), (C 2 ), 

 ogni punto P della superficie S determina in (Ci), (C 2 ) due curve passanti 

 per esso e intersecanti l'ima la c 2 , l'altra la c x in un punto: cioè ad ogni 

 punto P di S corrisponde una coppia di punti appartenenti l' uno a c x , l' altro 

 a c 2 . Eeciprocamente, è del pari manifesto che ad ogni coppia di punti 

 siffatti corrisponde un punto della superficie S, cioè la intersezione della 

 curva di (C 2 ) passante per il punto scelto su c x e della curva di (CO pas- 

 sante per il punto scelto su c 2 . 



Di qui risulta che per avere una rappresentazione parametrica della 

 superficie S basterà rappresentare le due curve Ci , c 2 . Ma codeste due curve 

 sono ellittiche entrambi, e fra loro in corrispondenza birazionale : onde si po- 

 tranno rappresentare sopra due cubiche piane y e / identiche, la cui rap- 



(•) Creile, Bd. LXXXVII. 



(*) Mathematische Annalen, Bd. 3. 



