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presentazione parametrica, per mezzo della p del Weierstrass, sarà 



x=p{u), y=p'{u) 



e 



2=p(v), t=p\v). 



La superficie S sarà allora trasformabile birazionalmente nella super- 

 ficie S\ che, in uno spazio a quattro dimensioni di coordinate cartesiane 

 x ,y ,s ,t , è data dalle equazioni 



x = p(u) , y = p'(u), 2=p(v), t=p'(v), 



ove si facciano variare i punti complessi u,v, l'uno indipendentemente dal- 

 l'altro, nel parallelogramma dei periodi 2w , 2co' della p considerata. 



Su codesta superficie S' ai due fasci (C,), (C 2 ) di S corrispondono i due 

 fasci di curve unisecantisi u = cost e v = cost. Per determinare gli altri 

 fasci di curve unisecanti le u = cost e le y — cost, notiamo, come già si 

 è fatto più sopra, che ogni fascio siffatto stabilisce una corrispondenza bi- 

 razionale tra una qualsiasi curva u = eost, e una qualsiasi y = cost, e dà 

 luogo quindi ancora ad una trasformazione birazionale della cubica y in se 



stessa. Ma è noto che, se il modulo — ; della cubica y è generale, codesta 



co ' ° 



curva ammette in sè stessa due schiere di trasformazioni birazionali, dipen- 

 denti ciascuna da una costante arbitraria, le quali, ove v designi il para- 

 metro del punto trasformato, sono rappresentate da (') 



(1) v = u -\- cost, v = — u-{-cost. 



Ora è manifesto che codeste due equazioni, lineari in u e v, rappresentano 

 su S' due fasci di curve unisecanti sia fra loro, come rispetto alle w = cost, 

 v — cost. 



Perchè la cubica y ammetta in sè stessa altre trasformazioni birazio- 

 nali oltre le (1), è necessario e sufficiente che il suo modulo —, abbia un 



ù) 



valore singolare, cioè precisamente sia uguale o all'unità immaginaria o ad 

 una radice cubica primitiva dell'unità. 



Se il modulo è uguale a rt i , cioè se la funzione ellittica p è armo- 

 nica (o lesmiscatica), la y ammette in sè stessa, oltre le due schiere di 

 trasformazioni (1), le altre due 



v = ± iu + cost ; 

 (') Cfr. p. es. Appell-Goursat, Théorie des fonctions algébriques, pag. 474. 



