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mediante analoghe combinazioni lineari, anche le formole: 



(iiy l>,d &.tf + ri=! 



= \ [/ + 1 , |7 + r*.*"? [y'+ 1 . y + 13' S 



(in)' [y , <?] - [y + lv? + l] = 



= e- U *'ir\ 4+1] + [/ +!,, *3 • 



Si osservi però che, come la (I)' non differiva sostanzialmente dalla (I) 

 da cui si deduceva dando alla g l V incremento di 2, così la (11/ non diffe- 

 risce sostanzialmente dalla (II) da cui si ricava dando l'incremento di 2 

 a /i; e precisamente in questo stesso modo si deduce dalla (III) la (III)'' 



3. Nelle formole (I), (II), (III) le caratteristiche y ,g , y r , g[ possono 

 essere dei numeri reali o complessi assoggettati alla sola restrizione di ren- 

 dere soddisfatte le relazioni (a)' ed (a)". Se però si scelgano per le g v , g 2 , 

 93 , , yi , y% , Ys i Yi dei numeri razionali interi, e si voglia che riescano 

 intere anche le caratteristiche g\ , g' 2 , g' 3 , g\ , y\ i /a > y'3 , y'4 , è necessario 

 e sufficiente, come appare dalle (a)' ed (a)", che sia: 



9i + # 2 + #3 + #4 = , /i + y 2 , y 3 , /4 = (mod. 2) , 



e sarà poi di conseguenza 2g' = , 2y' = (mod. 2). 



Nel caso di caratteristiche intere le formole (I), (II), (III) assumono 

 dunque la forma più semplice: 



(A) [y ,9l + L> + 1 fa = LY , f7 + [/' + 1 , 9'1 



(B) [y ,2] + (- i?~\y ,9 -f|l] = [/ , + (- 1) TJ V, </ + 1]* 



(C) [y^] + (-if^[y+i,#f-i]==[/,pT+(-i) ¥2/ C/+i ) ^+iI- 



Si potrebbe dimostrare, su di che non ci indugieremo qui, non essendo 

 ciò necessario allo scopo che per ora ci siamo prefisso, che le formole (A), 

 (B), (C) rappresentano, nel loro insieme, la generalizzazione completa della 

 forinola fondamentale di Jacobi, nel senso che: tutte le formole analoghe 

 alla formola fondamentale di Jacobi che si possono da essa dedurre dando 

 alle z incrementi dì mezze unità di semimoduli e combinando poi linear- 

 mente in un modo qualunque le formole così ottenute, sono necessaria- 

 mente contenute, come caso particolare, neU una nell'altra delle tre 

 formole (A), (B), (C). 



