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4. Dalla formola generale (T) e dalla (I)' dell' art. 2 segue sommando o 

 sottraendo membro a membro: 



(IV) 2[> , <?]=[/ , g'J + <r™<*7 W [/ + 1 , g'+ 1]' + 



+ erWtf + 1 , g'J + *-**r.[y , «/ + 1]' 



e 



+ 1 , gl = [/, g'J - e -^t^Xy' + 1 , / + 1J + 



_j_ + i , ^ _ ry , g > _|_ i]'. 



Di queste due formole però la seconda non differisce sostanzialmente dalla 

 prima da cui si deduce immediatamente accrescendo le y di un'unità. 



Se poi sottoponiamo le g e y alla condizione di essere razionali intere 

 e soddisfare alle congruenze : 



2g = , 2y = (mod. 2) , 

 la (IV) prende la forma più semplice 



(D) 2[y , f] = [/ , g'J + (- 1)V + 1]' + 



+ [/ + WJ + (-!)'' C/,/ + iJ 



in cui anche le g' e / riusciranno numeri interi. 



Sarebbe facile dedurre le formole (A), (B), (C) dall' unica formola (D). 

 Quest'ultima è ad esse preferibile dal punto di vista della simmetria; e 

 specialmente poi per il fatto che qui particolarmente c'interessa, che tutte 

 le formole fondamentali per l' addizione delle funzioni si deducono da essa, 

 come ora passiamo a vedere, con semplici particolarizzazioni delle caratteri- 

 stiche g e y e degli argomenti z , senza che sia poi anche necessario di com- 

 binare linearmente i risultati ottenuti come accade a chi voglia servirsi 

 della formola fondamentale di Jacobi o delle sue generalizzazioni. 



Del resto mi riservo di ritornare, quanto prima mi sarà possibile, sulla 

 forinola (D) per dimostrare in base ad un'accurata analisi della formola 

 stessa, come ad essa si possa anche sostituire la formola più semplice : 



2[y , 9l = lY ,91' + (- lY^ + i 2 '[y + 1 ,g + 1J + 



+ (- lY*\**[y + 1 , gj + (- lp [y ,g + 1 J . 



III. 



1. Se nella formola generale (IV) del paragrafo precedente prendiamo, 

 essendo u e v affatto arbitrarie : 



Z\ = u — j- V , 2« = U — V , -3 = 0, £4 = 



