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Ora questo non è ; è infatti possibile costruire una funzione trascendente 

 di una variabile complessa cbe abbia la proprietà ora detta; più generalmente 

 anzi: è possibile costruire un'equazione trascendente {a coefficienti ra- 

 zionali) : 



F {xi Xì . .. x„) — 



in n variabili complesse x x ...x n , tale che in un campo conveniente (che 

 può essere anche tutto l' S» complesso {x x ... x n )) definisca una qualunque, 

 Xi , di esse variabili come funzione analitica e trascendente delle 

 altre n — 1 , ed in guisa che, ove tra le x x ... x n si ponga un qualunque 

 sistema di relazioni algebriche, (a coefficienti razionali), e la x, e le sue 

 derivate di un ordine qualunque si riducano a funzioni algebriche di alcune 

 tra le 



1. Sia per questo: 



(1) f{x l x 2 ...x n ) = 2A qìqì ... qn x l ( i l x ì q *...Xn q » (jY -\-q% + ••• + qn<m) 



una funzione razionale intera di grado m, a coefficienti razionali interi e 

 privi di fattori comuni ('), delle n variabili X\ x 2 • • • x n , irriducibile in 

 queste variabili nel campo assoluto di razionalità. Estendendo una definizione 

 di Cantor ( 2 ), diremo altezza della funzione / , ed indicheremo col simbolo hf 

 il numero: 



(2) h f =(m-l) + 2\A qiqt ... qn \; 



e diremo anche che hf è l' altezza della equazione algebrica ( 3 ) : 



f(^X\ x% ... x n ) — • 



Quando la f abbia poi i coefficienti razionali, ma non intieri, diremo sua 

 altezza l' altezza del prodotto kf , dove k è il minimo multiplo comune dei 

 denominatori dei coefficienti della f . 



Vi è un numero finito di funzioni f ( 4 ) di n variabili x t x% . . . x n che 

 hanno una determinata altezza h: assegnato infatti h, si hanno dalla (2) 

 un numero finito di valori possibili di m e delle A qi ?a . . . qn ( 5 ). 



(') Considerazioni affatto analoghe valgono evidentemente, con lievi modificazioni, 

 oltreché nel campo assoluto di razionalità, anche nel campo R(i) dei numeri intieri di 

 Gauss e più generalmente in qualsiasi corpo algebrico assegnato. 



( 2 ) Cf. Cantor, Weber eine Eigenschaft des Tnbegriffs der reeller algebraischer Zahlen 

 (Creile, Bd. 77, 1873, pag. 258). 



( 3 ) Ora e nel seguito, seguendo i concetti aritmetici di Kronecker, supponiamo sempre 

 che le funzioni e le equazioni che consideriamo siano a coefficienti razionali. 



( 4 ) Quando non diciamo altro, intendiamo : funzione razionale intiera irriducibile, a 

 coefficienti razionali intieri e privi di fattori comuni. 



( s ) Ne segue in particolare, per un noto teorema della teoria degli aggregati: 

 Le equazioni algebriche in n variabili Xi ai... .sfa formano un insieme numerabile. 



