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Chiamiamo ora q h (xi x% . . . x n ) il prodotto di tutte le funzioni f di 

 altezza h\ e poniamo: 



/< 



(3) xp h (xi x 2 ...x») = 77, sp,, (xi x 2 ... x») ; f (x ì x 2 ...x») = l; 



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sarà un polinomio a coefficienti razionali intieri nelle il cui 



grado diciamo Ih • 

 2. Sia ora: 



(4) pi »?*•••.& 



una successione divergente di numeri intieri e positivi; sia: 



(5) 6$ (X\ Xz . • . Xìi) , &i \X\ . . • Xn) ) . . . 6 r (x i ■ •• Xrì) 



una successione di polinomi a coefficienti razionali intieri (i cui gradi diciamo 



«r , o"i . . . a r ) ai quali non imponiamo per ora alcuna condizione. 



Definiamo ancora n successioni divergenti di numeri intieri e positivi 

 (ì = 1 , 2 . . . n ; r = 1 , 2 ) dalle relazioni ricorrenti : 



(6) tfl, > (if + Qr K + <r r + 1 (/»* = 0) ; 

 e poniamo infine, per qualunque r: 



(7) torfai x 2 ... x n )=x^ l) x\^ . . . x^ 6 r (xi x 2 ...x n ) JVr(^i x 2 ...x n )\ Pr (r=0 , 1 ... ) ; 



sarà oì r un polinomio in XiX 2 ... x n a coefficienti razionali intieri, di cui è 

 opportuno notare alcune semplici proprietà. 



a) Tranne al più per r = 0, si ha: 



(o r (xi...Xi-i ,0 ,Xi +l ...x n ) = Q ; (i= 1 , 2 ... ri). 



b) Il grado di m r nella variabile x% è maggiore od uguale a fi r li> , 

 minore od uguale a [i r tì) -j-A r g r -{- r =n£} H — 1 . Ne segue che: due poli- 

 nomi (o r , (o s (per r =}= s) non hanno termini simili. 



c) Se tra le XiX 2 ...x n si 4 pone un'equazione algebrica {irridu- 

 cibile) : 



(8) g (x ì x 2 ...x n ) = 0, 



tutte le co r per cui è r >- h , si annullano. Per r >.h g , il polinomio 

 ip r (x! ... x n ) e quindi anche oo r ha infatti il fattore g (Xi ... x n ). 



d) Una derivata qualunque del polinomio w r , di ordine minore di g r , 

 contiene ancora il fattore tp r (xi...x n )' ne segue, poiché lini £>,.=-]- oo, che: 



se le Xi...x n sono legate dalla equazione algebrica (8), insieme colle w r 

 si annullano tutte le loro derivate parziali di ordine m J per cui si ha 

 insieme : r ^ h g ; Q r ^> m . 



