3. Consideriamo ora la serie: 



co 



(9) Xft u h bì h (#1 . • • x n ) , 







in cui le u h sono numeri razionali, che ora designeremo in modo più pre- 

 ciso. Se nella (9) eseguiamo tutte le moltiplicazioni indicate, per la pro- 

 prietà b) dei polinomi w r , non vi saranno mai termini simili provenienti da 

 termini diversi della serie stessa ; ne risulta quindi una serie npla di potenze : 



(10) 2a qi 22 '...g n X& X 2 q * . . . Xr?n , 



in cui ogni coefficiente d qi ... qn è il prodotto di un numero intero per una 

 sola u r \ è inoltre evidente che una stessa u r figura come fattore in un numero 

 finito di coefficienti a qi qi . .. qn • 

 Indichiamo ora con 



(11) 2A qi qì ... q n X{h Xt q °- . . . X» q n 



una serie npla di potenze delle la quale converga assolutamente 



ed uniformemente in un certo campo G ad n dimensioni (che può essere anche 

 tutto l'S» complesso (xi...x n ))i sarà sempre possibile soddisfare con valori 

 razionali delle u alle disuguaglianze : 



(12) | ttq, q t .--q n \ <C | A qi fri ' 



queste disuguaglianze si tradurranno infatti in altre sulle u r della forma: 



(13) \u r \<e r (r — 0,1/2...) 



essendo e r un numero reale e positivo (e non sempre nullo), che per ogni 

 singolo valore di r può ritenersi perfettamente determinato dalle disugua- 

 glianze (12). 



Supponiamo per semplicità che la (11) converga in tutto l'S M complesso 

 (xi x z . . . x n ) ; allora, se almeno da un certo valore di r in poi, le (13) 

 sono soddisfatte, posto : 



00 



(14) F (xì x°...x n ) iih w/t (àri x 2 . . . x n ) == 2a qi a , ...j» x^x^ ...x n q n 



o 



sarà F ) una trascendente intera nelle w variabili complesse 



e tali saranno anche tutte le sue derivate parziali di un ordine 

 qualunque; queste inoltre si potranno calcolare derivando termine a termine, 

 tante volte quante si vuole, la serie (9). 



Non è inutile osservare che : entro i limiti /issati dalle disuguaglianze (13) 

 i numeri razionali u r {r = , 1., 2 ... ;. .) possono prendersi affatto arbitra- 

 riamente. 



