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4. Sia ora 1' equazione : 



(15) F {xi x 2 ... x H ) = ; 



sotto alcune condizioni iniziali, che possiamo sempre supporre verificate in 

 un certo punto di S„ (ad es. : l' origine, il che, per la proprietà a) dei poli- 

 nomi co r , porta delle condizioni relative al solo polinomio 6» (x x . .. x n )) essa 

 definisce in una certa regione di S„ una varietà analitica V ad a dimen- 

 sioni. In questa regione noi svolgeremo le nostre considerazioni. 



A) Qualsiasi varietà algebrica di S n sega la varietà V 

 in una varietà algebrica. 



Diciamo varietà algebrica in S„ la totalità dei punti {x x .. . x n ) che 

 soddisfanno ad un sistema di equazioni algebriche (che definiscono la varietà) : 



(16) g 9 {xiXì...3Crù = ((> = 1 , 2 ...q) . 



L' eventuale sezione della varietà definita dalle equazioni (16) colla nostra 

 varietà V si ottiene infatti considerando simultaneamente le equazioni (15) 

 e (16). Ma, indicando con h -j- 1 la massima altezza di un fattore irriduci- 

 bile di una g ? (q = 1 , 2 .. . q), nella P (oS\ à? w )', per la proprietà c) dei 



polinomi oo r , si annullano allora tutte le co r , per cui è r^>h; ponendo 

 adunque, per qualunque t: 



- - ' • ' ' * . : 



(17) P (i) (Xi ■ ■ . X n ) = X* Uh Oh (X, ... X n ) , 







alle equazioni (15) e (16) può sostituirsi il sistema di q -j- 1 equazioni 

 algebriche: 



(18) F a,ì (x 1 x 2 ...x n ) = ; g p {xyX 2 ...x n ) = (e =1,2...;), 

 il che dimostra la nostra asserzione. 



Se Xi ...x n è un punto di V , diremo elemento di ordine s di V il 

 sistema : 



(<^?i oo% • cCyi t dtC\ , cl&i (hcc 'n f • . . i d X\ , f&tJCz i • •• dfoCfiS 



delle coordinate del punto e dei loro differenziali fino all' ordine s , presi 

 sulla varietà V , in guisa cioè che la F = e le equazioni che si hanno 

 da essa, differenziandola fino all'ordine », sian soddisfatte. Abbiamo allora : 



B) Qualsiasi elemento di ordine finito della varietà V, 

 relativo ad un punto della sezione di V con una varietà 

 algebrica qualunque di S n , è ancora algebrico. 



Insieme colle equazioni (15) e (16) consideriamo infatti quelle che si 

 hanno, differenziando la F(x 1 ...x„) fino all'ordine s: 



(19) d l ¥ = (t = l,2..,s). 



