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Il primo membro di ciascuna delle (19) è una funzione razionale intiera 

 dei differenziali dv-xi {ì = 1 , 2 . , . n , (i = 1 , 2 . . . s) i cui coefficienti sono 

 derivate parziali della F di ordine non superiore ad s. Ove adunque si 

 abbian le (16), saranno nulle, per la proprietà d) dei polinomi w r , tutti 

 quei polinomi e le loro derivate per cui è insieme r >> h , g r > s : ciascuna 

 delle (19) si riduce cioè ad un polinomio in tutti i suoi argomenti. Ne segue 

 appunto il teorema B). 



Più generalmente si pongano tra le Xi x 2 . . . x n delle relazioni alge- 

 brico-differenziali (a coefficienti razionali): 



(20) G p (x t Xì . . . x n ; dxi . . . dx n • • • ; d*x x . . . d k x n ) = (q—1 ,2 ... q) 



di ordine non maggiore di k, le quali sian compatibili, e tra cui vi sia 



almeno un'equazione algebrica'. 



g {Xi x 2 . . . x n ) = . 



Lo stesso procedimento dimostra allora che: 



C) Qualunque elemento della varietà V di ordine mag- 

 giore od uguale a k relativo ad un punto della sezione di V 

 con un integrale delle equazioni (20) è ancora algebrico. 



La varietà V passi per 1 origine ed m questo punto tutte le derivate 



~òXi 



sian diverse da zero, il che può farsi evidentemente in infiniti modi, pren- 

 dendo convenientemente il primo polinomio O della successione (5) ; dalla 

 F = può allora trarsi una qualunque delle x , ad es. : la Xi , in una serie 

 di potenze delle altre n — 1 : 



(21) Xi = P(^, , ... Xi-! , x, +i , ...x n ) {i=l,%...n) ; P(0) = 



questa serie converge allora in un certo intorno (ad n — 1 dimensioni e di 

 ampiezza non nulla) del punto x x = x 2 = . . = = Xi +1 = . . = x n = , 

 ed in questo intorno definisce la Xi come funzione analitica e monodroma 

 delle Xi . . Xi-, Xi +l . . .x n , che ha evidentemente le proprietà seguenti: 



D) Se tra le % 1 % ì ..:% n si pone un sistema qualunque di 

 relazioni algebriche, una qualunque di esse variabili, ad 

 es. la Xi, e le sue derivate (rispetto alle altre) di un ordine qua- 

 lunque (calcolate dalla (21)) si riducono a funzioni algebriche 

 di alcune tra esse variabili. 



5. Il risultato che precede, per quanto notevole, non basta, come osserva 

 a ragione lo Stackel nella Memoria citata, ad assicurare dell' esistenza di 

 funzioni analitiche e trascendenti di una o più variabili complesse, che 

 abbian le proprietà espresse dal teorema D). Si potrebbe infatti pensare che 

 l'equazione F(xì X% • • . Xi) t ) = , pure essendo trascendente, definisse in 



