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A quest'ultima condizione si può soddisfare disponendo opportunamente 

 di x. Infatti, basterà provare che, preso un fattore primo di a x , si può 

 scegliere un valore a, di x. per modo che si abbia una delle incongruenze : 



2#, -f 2cì<xì e|= (mod. m) 



a t -f 2b 2 ce, -j- c%a\ ^ (mod. m) . 



Ciò è sempre possibile: perchè, nel caso opposto, ih dovrebbe dividere 

 2bi , 2b 2 , « 2 . ed ai contro l'ipotesi. Procedendo nel medesimo modo per 

 tutti i fattori primi diversi di a, , u x , h 2 w m e prendendo poi : 



x = a, (mod. ;«,) , = a 2 (mod. « t ) , ... , # = « m (mod. u m ) , 



sarà raggiunto lo scopo. 



Se dunque (a , b , c) ed (a , 6 , <? 1 sono due forme rispettivamente di 

 H e di H 9 , coniugate e concordanti, si potrà considerare un intero razionale 

 B. che soddisfi alle congruenze: 



B = b (mod. a) , B = b (mod. a ) , B s = D (mod. aa ) 

 B 2 — D 



e quindi, ponendo C = . C è intero razionale, e la classe composta 



a «o 



H-H . contenendo la forma (aa , B , C) è razionale, c. v. d. 



Della classe H consideriamo ora l'opposta della coniugata, H^" 1 : pro- 

 cedendo in modo analogo a quello seguito nel lemma precedente, si prova 

 l'esistenza di due forme (a . b , e) ed (a ,—b , c ) , appartenenti ad H ed 

 H^ 1 rispettivamente e concordanti. Si ha allora il lemma li): componendo 

 una classe H , eoa l'opposta della coniugata H7 1 , si ottiene una d isse 

 del tipo P ('). 



4. — Le considerazioni del numero precedente ci permettono ora di 

 dimostrare che non esistono altre categorie, oltre quelle notate al n. 2, di 

 classi di forme di Dirichlet, a determinante D . appartenenti ai generi delle 

 specie principale. 



Sia K una classe di forme di Dirichlet. appartenente ai generi sud- 

 detti, ed indichiamo con f una sua forma. 



Se D = 3 (mod. 4) oppure D = (mod. 2). esiste certamente una 

 forma di Gauss f x , a determinante D, primitiva di prima specie, la quale 



(') Questo lemma e il suo precedente risultano pure, cume è ben naturale, ricor- 

 rendo alle formule generali di composizione delle l'orme date da Gauss nelle sue Disqui- 

 sitiones. Noi però abbiamo preferito seguire il metodo di composizioni' delle forine dato 

 da .Dirichlet, e cioè ricorrendo alla nozione di forme concordanti, perchè appunto sotto 

 questa forma più elegante viene comunemente esposta la teoria della composizione delle 

 forme aritmetiche. 



