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4. Si voglia ora trovare per quali varietà Y„ (n^>3), immerse nello 

 spazio piano ad n + 1 dimensioni (ipersuperficie), le condizioni (A'), (A"), (A'") 

 siano verificate. 



Basterà ricordare che ogni ennupla che risulti delle linee di curvatura 

 di una ipersuperficie ad n dimensioni, è per essa una ennupla principale, e 

 che fra le ennuple principali ne esiste una almeno per cui sono soddisfatte 

 le equazioni 



(3) Ypq,rt = , 



ogni volta che la combinazione semplice (rt) degli indici 1,2 w, è di- 

 stinta dalla (pq) , e alle equazioni 



(4) Ypq,p<i ~ Pp P<i ' 



in cui , /Sg , ... , /j„ sono indeterminate 



Le (A') ed (A") sono senz'altro soddisfatte, se lo sono le (3) ; le (A'"), 

 in virtù delle (4), diventano 



(5) (n— l)(n— 2)p p p q — 



— (»" — 1) | Pp (B -— j*p) -f- § q (B — j = ]jv r /** — B* , 



n 



ove B = x fl 2 } . . Le (5) si mutano in identità, non solo se si suppongono 



~T~ 



tutte ugnali le ma anche se si suppongono uguali n — 1 di esse. 



Ponendo nelle (5), in luogo della combinazione (p , q) , successivamente, 

 le combinazioni (i,j),(i,k) e sottraendo, indi (j , l) e (k , l) e sottraendo, 

 si ricavano le equazioni 



(ft - fr) J (n - 2) + A- -f ^ - B ; = , 



{Pi - ft) ; (» — 2) A + A -f - B i = , 

 da cui &i passa alle 



(#'— — ft) =0. 



Queste, e l'osservazione fatta sopra, esprimono il teorema : Fra le iper- 

 superficie ad a dimensioni (ra>3) sono rappresentabili conformemente 

 sul/a varietà euclidea ad n dimensioni tutte e soltanto quelle per le quali 

 n — ■ 1 almeno delle /?; sono uguali ( 2 ). 



5. Dal Ricci fu dimostrata questa notevole proposizione ( 3 ): Ammettono 

 terne ortogonali costituite di congruenze normali e isotrope tutte e sole 



f 1 ) G. Ricci, loc. eit., pag. 1238. 



( 2 ) J. A. Schouten, loc. cit., pp. 87-88. Il caso n — Z fu trattato da me nella Nota: 

 Lì ipersup. a tre dimensioni che si possono rappresentare conform. sullo spazio euclideo. 

 Atti del R. Istituto Veneto, tomo LXTT, parte 2» 1903. 



( 3 ) G. Ricci, Sulla determinazione di varietà dotale di proprietà intrinseche date, 

 a priori.. Rend. R. Accad. Lincei, voi. XIX, s" r j L1 5» y> sem . 1010, pp. 18M87. 



