— 13 — 



essa risulta necessariamente continua e quindi (Cauchy) coincide rispettiva- 

 mente con la funzione e 1:x o K.r (K costante). 



È noto altresì come la questione dì trovare il minimo di condizioni da 

 imporre alla f(x) perchè risulti necessariamente continua, ha dato ori- 

 gine a varii lavori, e come l'orse il risultato più importante in merito 

 sia quello ottenuto dal Darboux f 1 ). 



In esso però, come in tutti li altri lavori sull'argomento, si ammette 

 l'ipotesi 1). 



Ci proponiamo di mostrare qui che [escluso il caso banale in cui la 

 f(x\ sia zero dappertutto, tranne in un pnnto] alla 1) si può sostituire l'i- 

 potesi più lata che la f(x) sia definita soltanto nell'intervallo (a , b) . 



Con ciò. notiamo bene, in forza della (1), o rispettivamente, della (1'), 

 essa viene subordinatamente determinata anche nell'intervallo (2a,2£),che 

 in generale risulterà staccato dal primo ( 2 ). 



Senza ledere la generalità, potremo supporre a e b ambedue positivi 

 poiché, iu caso contrario, si perverrebbe alla conclusione enunciata ancor più 

 direttamente, come sarà facile riconoscere dal seguito della presente Nota. 



Qui tratteremo il caso della (1). ma è ovvio far notare che la conclu- 

 sione accennata vale anche per il caso iu cui la f(x) soddisfi, anziché alla 

 (l), alla (1'). 



Lo stesso teorema vale per una f(s) , funzione della variabile complessa 

 2 , sempre beninteso nel senso di Dirichlet ; esso si riconduce in modo sem- 

 plicissimo al caso del campo reale che stiamo per trattare, e sarà oggetto 

 di una brevissima comunicazione che avrò l'onore di presentare a codesta 

 Accademia ( 3 ). 



I 1 ) Loc. cit. Sull'argomento, che si riconnette intimamente al postulato della con- 

 tinuità della risultante di due vettori, ed alla ben ordinabilità del continuo (post, di Zer- 

 melo), vedi: Volpi, Giorn. di Batt., v. XXXV, 1897, pag. 104, a cui però sono state sol- 

 levate varie obiezioni; Levi Beppo, Rend. R. Acc. Lincei, ser. V, toni. IX, 2° seni. 1900: 

 Hamel, Math. Ann., Bd. LX, 1905, pag. 459; vedi pure mio studio del prof. Roncagli 

 brevemente riassunto nei Rend. del Semin. Matem. della R. Univ. di Roma, 1913-14, in 

 cui afferma illusoria e scorretta la soluzione discontinua proposta dall'Hamel. 



Dal punto di vista della comp. dei vettori vedi l'estesa 1 > ibi. nella Meccanici ra- 

 zionale del Marcolongo. man. Hoepli, II ediz., voi. I, 1917. 



( 2 ) Per la validità della conclusione cui si giunge, basta del resto supporre la f{x) 

 definita in un intervallo («,/,), in esso limitata, e godente della proprietà che il prodotto 

 f(%x) f(x.,) o rispettivamente la somma /'(x^ -f- f(x 2 ) (se x x ed x 2 sono due punti com- 

 presi nell'intervallo di definizione) resti costante quando, pur variando x, ed x 2 , non varii 

 però la loro somma {x t -J- .r 2 ) . 



( 3 ) In proposito vedi: Segre, Atti Acc. Scienze Torino, toni. 25 e 26, nn. 1890 e 1891; 

 Segre, Math. Ann., Bd 40, an. 1800-91; Segre, Interni, des Mathem., toni. I, pag. 182, an. 

 1894-, Lebesgue, Atti Acc. Scienze Torino, toro. XL1I, 1906-07, pag. 532: E. Noether, Math. 

 Ann., Bd LXXII, 1916 -, Terracini, Math. Ann. Bd. 80, an. 1921. 



