II. Legittimità dell'ipotesi /(a) 4=0. — Osserviamo innanzi tutto 

 come sia lecito supporre f(a) 4= . 



Invero, se fosse f(a) = , dall'eguaglianza 



f{a) f(x) = /•(« + «) 



che vale per a^x^b, si trarrebbe che la fix) sarebbe sempre nulla, 

 intanto, da 2a ad (" -j- b) . 



In causa poi dell'altra eguaglianza 



f(x) = /' 



r \ 2 

 ■> 1 



intesa applicata per 2a < x < (a -j- ^) i si trarrebbe che la /( / ) è conse- 



a - f- 



guentemente nulla pure da a ad — „ — , cioè in tutta la prima metà del- 

 l'intervallo (a , b) . 



Se dunque la f(x) è nulla nell'estremo inferiore, a , dell'intervallo, è 

 nulla pure necessariamente in tutti i punti della prima metà di esso (estremo 

 superiore compreso). 



Ragionando poi sulla seconda metà di (a , /;) , come abbiam fatto per 

 la prima, e così di seguito, scorgiamo facilmente come l'ipotesi f(a) = 

 tragga la conseguenza f(x) = per a x < h , cadendo nel caso banale. 



III. Riduzione a zero dell'estremo inferiore dell'intervallo di 

 definizione. — Si consideri una nuova funzione detinita nell'intervallo 

 chiuso [0 , (b — «)] (di cui cioè fan parte anche l'estremo inferiore e 

 l'estremo superiore [b — a]) dalla posizione 



(2) tf*)- . m < 



posizione legittima, in quanto, come abbiam visto, ./'(a) 4= . 



La <p{x) nell'intervallo [0 . (b — o)] soddisferà alle ipotesi cui soggiace 

 la /'('); in particolare soddisferà in quel campo alla (1). 



Invero, se x x ed x 2 sono due punti tali che 



<. £Ci <. (b — a) , < x t <. (b — a) , < (ce, -\- x,) < (è — a), 

 sarà 



. s / x /^l + O) ffat + ft ) /fai '+ X * + a 4" «) 



^ - w -= 7 ~ y? ^ = 



„ /-.»■ + », + «) 



/(«) 



Inoltre 9) 0) == 1. , e poi dalla relazione tp{x) = Spf ^ risulterà essere y> 

 sempre positiva. 



Essa inoltre, a meno di essere sempre nulla da a (h — a) (0 escluso) , 

 non può mai annullarsi. 



