— 16 — 



Qui noi ci proponiamo di studiare la (1) che appartiene ad un tipo 

 alquanto più generale di quello ora menzionato, supponendo che parte delle 

 K tr) [a; , y ; h(yj] , od anche tutte, possano diventare infinite per valori di y 

 nei rispettivi intervalli d'integrazione [j*r(#) . #v(aO], con a ^. «/; ^ è , senza 

 che perciò ne resti infirmata la loro integrabilità. 



2. Per risolvere la (1), opereremo anzitutto una trasformazione (*) ag- 

 giungendo ai due membri della stessa la fi nzione 



,t{x) = Xy \ c r u(y) -\-.c\dy, 



dove le c r e la c sono delle costanti da determinarsi. Posto 



U(a-) = u{x) + u'(x) ; K (r) [> , y ; h(y)2 + c r u(y) + e = H'" [,• . y ; %)] , 



la (1) diventa 



TJ(x) = h(x) + ì >" p*^ H"> [> , y ; %)] .rfy . 



Faremo l'ipotesi che la sia limitata e che le K (r) \_x , // ; /i(//)] 



(r = 1 , 2 , ... , p) ammettano, pei valori di y pei quali sono regolari, la deri- 

 vata prima determinata, rispetto alla funzione h(y) considerata come una 

 variabile; derivata che indicheremo con KJ^JV , y.\ h{y)~\ ( 2 ) . 



Scelti allora un a ^> arbitrario ed un numero positivo m tale che 

 | X ] mp = q risulti positivo e minore di un numero arbitrario k << 1 , deter- 

 miniamo le costanti c r in modo che, per ogni funzione 0^|a(*)!<C 2er e 

 per ogni numero <T 6 _5L 1 , si abbia 



2 ) f ;/ f ' I Hu<y, D* , y ; »0(y) + «(y)] I <h < « , (r = 1 , 2 , ... , p) . 



Indicando poi con r il massimo modulo della U(x), che naturalmente 

 risulterà funzione della rimanente costante c, determiniamo quest'ultima in 

 modo che, assieme colle (2), rimanga soddisfatta anche la relazione 



Supposto che il sistema delle precedenti p -j- 1 in equazioni nelle p -j- 1 

 incognite c r e c sia compatibile, ammetteremo d'aver fatto nella (1) la tra- 



( 1 ) Con metodo simile a quello qui usato, ho risoluto altri tipi di equazioni non 

 lineari che ho considerato in due mie recenti Memorie, delle quali la prima Sulle equa- 

 zioni integrali 'non lineari, apparirà nel fascicolo 1-2 del voi. XXXI degli Annali di 

 matematica, e la seconda, dal titolo Sulle equazioni integrali non lineari con operazioni 

 funzionali singolari, trovasi in corso di stampa nel Giornale di matematiche. 



( 2 ) A questa condizione si potrebbe sostituire la seguente : che le K< r > \_x , y ; U(y)'] , 

 per ogni funzione a){y) , siano tali da aversi 



| Kf>[a! , y ; U(y) + »(»)] — K<>'>[> , V ; Ufo)] I = I <V) 1 1 F< r >(* , y) I , 

 sotto la condizione che le funzioni | F( r '(a; , y) | siano integrabili. 



