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Relatività. — Lo spazio-tempo delle orbite kepleriane. Nota I 

 di F. P. Cantelli, presentata dal Socio G. Castelnuovo. 



1. L'idea più geniale della Kelatività generale consiste nel riguardare 

 la traiettoria di un punto materiale in un campo gravitazionale, quando si 

 tenga conto del tempo, come una geodetica di uno spazio-tempo a quattro 

 dimensioni, 



È noto che Einstein caratterizza la metrica di questo spazio-tempo me- 

 diante certe equazioni alle derivate parziali, dette equazioni gravitazionali, 

 che, pur involgendo una discreta arbitrarietà, hanno condotto a spiegare o 

 a prevedere fenomeni confermati dalle osservazioni. 



Sembra interessante di seguire un cammino inverso a quello accennato; 

 cioè, partire dalle equazioni della traiettoria, considerando questa ultima 

 come suggerita dalle osservazioni e, prescindendo da ogni considerazione di 

 equazioni gravitazionali, esaminare quale debba essere la metrica di uno 

 spazio-tempo affinchè quella traiettoria rappresenti una geodetica di esso. 



In questa prima Nota mi occupo dello spazio-tempo che conduce alle 

 orbite kepleriane. 



2. La presenza di un'unica massa, ad esempio il Sole, genera uno 

 spazio tempo quadridimensionale il cui quadrato dell'elemento lineare, per 

 intuitive e note considerazioni di simmetria ('), ha la forma 



(1 ) ds* = — e x dr 2 — ev\r- de" -f- r 2 Ma* H . dy 2 ) -f c 2 e" . di 2 



in cui r , 6 , <p sono coordinate analoghe alle polari che fissano la posizione 

 di un punto nello spazio ( 2 ); t è il tempo; c 2 il quadrato della velocità 

 della luce; X,/n.v sono tre funzioni della sola r, che tendono a zero per 

 r-> oo poiché a distanza infinita dalla massa, generatrice dello spazio-tempo (1), 

 quest'ultimo deve diventare euclideo. 



i 1 ) Cfr., ad. es., Palatini, Lo spostamento del perielio di Mercurio, ecc. (Nuovo 

 Cimento, serie VI, voi. XIV r , fascicolo luglio 1917). 



( 2 ) Si noti che r non rappresenta, in generale, la distanza del punto materiale dal 

 polo. Si rileverà però facilmente in seguito che se r , r' sono i parametri che fissano la po- 

 sizione di due punti sopra una linea 6 = cost., q> = cosi, (geodetica) uscente dal polo, 

 r-r' esprime la distanza dei due punti, a meno di una quantità trascurabile, quando essi 

 siano sufficientemente lontani dal polo. 



