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Per lo ragioni di simmetria addotte, la traiettoria di un punto mate- 

 riale, quando si elimini il tempo, ha luogo in un piano (più precisamente 



TX 



superficie geodetica), = cosi, che possiamo supporre sia il piano = — ; 



è perciò che ci limitiamo a considerare lo spazio-tempo tridimensionale il 



cui quadrato dell'elemento lineare è : 



(2) ds 2 = — é k dr 2 — e. u - r 2 dip 2 + c 2 *' dt 2 . 



Per la determinazione delle funzioni incognite l , fi , r ricaveremo la 

 equazione in r , g> della traiettoria, rappresentatrice di una geodetica dello 

 spazio-tempo (2), e la identificheremo con la nota equazione, in coordinate 

 polari, col polo nel fuoco, di una conica. 



3. Le tre equazioni di una geodetica dello spazio-tempo (2) equivalgono, 

 a determinazione fatta, alla (2) stessa e alle altre: 



/ .x o dai . di k 



essendo fc,h due costanti di integrazione. La eliminazione di dt,ds tra (2) 

 e (3), quando si ponga u= l / r , conduce, dopo i necessari passaggi, alla 

 equazione 



»-\ , 1 d*r+ 1 k 2 de 2 '^*^ _ 1 de 2 '. 1 -'- 

 ( ) dg> 2 ^~ ey ' U+ 2 du U ~2c*h 2 du ~ 2li* du 



che identificheremo con l'equazione 



/r v d 2 u . 



(o) -r—, 4- u — a = cost. 



d(fr 



la quale ammettiamo sia giustificata dalle osservazioni. 



Le funzioni X , [i , r , non dipendenti da k , h , debbono condurre alla 

 (5) in cui a deve essere, in generale, dipendente da k,h. 



Ponendo a = f(k , //) , il paragone fra (4) , (5) conduce a scrivere 



! ■ / x , 1 de[J '~ x , 



ip(u) = eV-~ K « + - — ; — u — u 

 \ 2 du 



(6) 



1 k 2 de^-'"^ 1 de 2 v- x 

 , ^ v) = 2^—dT- -M-toT-M^ 



nell'ultima delle quali va considerata come incognita anche f(k , h) . 



4. Dalla prima delle (6) risulta die ip(u) deve essere indipendente da 

 k , h . Derivando, pertanto, la seconda delle (6), parzialmente, prima rispetto 

 a k e poi rispetto ad li, deve aversi identicamente 



k de^'-" u+X) 



(7) 



j 7 , 1 /:- de'V-'"^ 1 de^~'>- 



