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I primi membri delle (7) debbono essere indipendenti da w; altrettanto 

 deve essere dei secondi membri. Essendo, pertanto, a . p due costanti qual- 

 siasi, indipendenti da k , 7? , dobbiamo scrivere 



(8) ; == « , — ■ == fi 



du du 



e poiché //, e X debbono tendere a zero per u -> , si deduce 



(9 ; t t P* iH — aù + .l , e 2 ."' ~ x = pu -j- 1 . 



Le (7) , (9) forniscono ovviamente 



(io) A*U),^«^|^|i.+ y 



essendo y una nuova costante indipendente da k, h. Sostituendo la (10) nella 

 seconda delle (6) , e tenendo presenti le (9), risulta xp{u) -\- y — la quale, 

 per la prima delle (6) , dà un'equazione differenziale in et* - * , u , che integrata 

 fornisce 



(a) ^=1-^+4 



e. poiché il primo membro di (11) per u — > deve tendere all'unità, deve 



essere 



(12) y = ó=0. 



5. Le (9) , (10) , (11) , (12) portano a scrivere 



(13) e N = 1 — : = é k = pu-\-l 



au .-j- 1 - 



(14) A^A)==«=2?(7-/')- 



Si può concludere che affinchè lo spazio-tempo quadridimensionale (1), 

 soddisfacente alla condizione posta 



lim v = lim fi — lim X = , 



ammetta geodetiche che possano essere rappresentate da traiettorie di equa- 

 zione 



d, 2 u , 



è necessario e sufficiente che valgano le (13), essendo « , p due costanti 

 arbitrarie, indipendenti, come si è detto, da h , k che hanno il significato 

 fornito dalle (3). Il valore di « è allora dato dalla (14). 



