nanze di L, sia costante. Sia 



( 1 ) ds % = V g ik dxi dx h (i , k = 1 , 2 , ... , »•) 



i/C 



d 00 ' 



e siano //,■ , y (0 ; ^ , = ^ i sistemi co- e controvarianti delle dire- 

 zioni y,rj. Avremo intanto 



<V' } ^ ( hi) (k) dxj, _ _-^{hl) dxh_ dxj _ 



ds Tf ( i ) ' ds ft \ ì ) ds ds ' 



. . drf d dxi d° Xi a . , , 



e inoltre —h = - — — = —7— . bi trova dunque 



ds ds ds ds 2 



(tyt) dì] 



ds 



<t> 



~~ \ds 2 ~^ it i i ) ds ds )~ 



Le G' sono le componenti controvarianti del vettore C, curvatura geo- 

 detica, cioè di un vettore che ha Torientazione della normale principale 

 geodetica di L e grandezza eguale alla sua curvatura geodetica. 



Si ha d'altra parte 



)y CÙ ^{h/c) m d.x 



(2) * ~ S( • V ds 



Ora. siccome y è perpendicolare ad L, lo spostamento, con cui da y-\-ày 

 si deduce y -j- dy , saia parallelo alla tangente ad L e avrà grandezza eguale 

 alla proiezione sopra y stesso di dij — di]', vale a dire, siccome y ha lun- 

 ghezza 1, al prodotto scalare di — dt] per y, cioè 



i l 



Le sue componenti controvarianti si otterranno dunque moltiplicando la sua 



dx ~ 



grandezza per le coordinate controvarianti della tangente ad L , cioè — ' . 

 Esse son dunque, in ultima analisi, — dxi 2 C r y lr) . Da (2) risulta ora im- 



r 



mediatamente 



dy™ _ J h k ) m dxn dxt 

 {ó} ds ~ è\ i V ds ds ^ hV ' 



La (3), scritta per £ = 1,2,...,», dà un sistema di n equazioni diffe- 

 renziali del primo ordine tra le n incognite ?/ (1> ?/ (2) ... ?/ <n) che risultano 

 così determinate, una volta che ne siano assegnati i valori iniziali. Sarebbe 

 anche facile verificare formalmente dalle (3) che, se i valori iniziali delle y l,ì 

 soddisfano la condizione di perpendicolarità ad L, tale condizione resta ve- 

 rificata lungo tutta la linea. 



2. In un punto P di L assegnamo ora a piacere n direzioni //,?/■•...//,, 

 mutuamente ortogonali, con la coudizione che y n sia tangente ad L. Le di- 

 rezioni y x y t .... y n - { saranno perpendicolari ad L e potremo trasportarle 

 lungo L con la legge assegnata al § precedente die. come è evidente dalla . 



