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sua stessa definizione, conserva la loro ortogonalità. In tale modo veniamo 

 ad associare ad ogni punto di L n direzioni mutuamente ortogonali, di cui 

 l'ultima è quella della tangente ad L. Pensiamo ora la nostra V„ immersa 

 in un S„ euclideo a un numero conveniente di dimensioni. Possiamo pren- 

 dere come coordinate di un punto di Y„ le coordinate cartesiane ortogonali 

 della sua proiezione sopra 1' S„ tangente a V„ in un punto generico P di L, 

 aventi per origine P e per direzioni le direzioni //■, .... y n relative al 

 punto P. Con tali coordinate l'elemento metrico di V„ in P prende la forma 

 ds* = -j- dyl -j — -j- dy\\ esse inoltre, come immediatamente si rico- 

 nosce, sono geodetiche in P. Vale a dire, per le coordinate y si può nel- 

 l'intorno di P porre, a meno di infinitesimi di indine superiore al primo, 

 gu = l gik — (i=$=k). E manifesto che di tali riferimenti ne avremo uno 

 per ogni punto di L Consideriamo 'ora un punto Q di V„ che nel riferi- 

 mento relativo al punto P di L abbia coordinate , y 2 y n -i,0. Per 



ogni altro punto P di L possiamo allora determinare un punto Q che, nel 

 riferimento relativo a P, abbia le stesse coordinate che ha Q nel riferimento 

 relativo a P . Il punto Q percorrerà così una linea di decorso parallelo ad L. 

 Vogliamo ora trovare la relazione che lega dsQ a ds? nell'ipotesi che Q sia 

 infinitamente prossimo a P. Perciò osserviamo che lo spostamento che porta 

 Q in Q -J- dQ, è composto degli spostamenti indicati al § 1 con ó e con 

 d — J e che il primo, essendo uno spostamento parallelo, fornisce, a meno 

 di infinitesimi di ordine superiore, àsq — ds?; il secondo è una rotazione 

 che, come si è visto al § I, dà (d — ó) sq = ds?C X Q — P, se con X si 

 indica il simbolo del prodotto scalare e con Q — P il vettore di origine P 

 e termine Q. Inoltre dsq e (d — ó) s Q hanno entrambi la direzione della 



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tangente in L. Si ha dunque dsQ = ósq + (* — ó)sq; cioè 



(4) dsq, = dsp [1 -f-.C X Q — P ] . 



Le traiettorie dei punti Q formano una (n — l) u P la infinità di linee e 

 quindi, almeno con opportune limitazioni, per ogni punto M di V„ passeià 

 una di tali linee; così che potremo caratterizzare M mediante le coordinate 

 del punto Q, fifì... y n -i corrispondenti alla linea passante per M, e 

 l'arco s P di linea L contato da un'origine arbitraria fino a quel punto P 

 che corrisponde al Q coincidente con M. 



Se M è infinitamente prossimo ad L, dsQ sarà perpendicolare alla iper- 

 superficie Sp costante. Si avrà perciò 



dsk = ds$ J rdy\ J r dy\ J r ----\- dyl_ x ; 

 e, tenendo presente (4), 



(5) dsl = (1 -f- C X M — P)« dsf + dy] + dy\ -\ h dyU . 



Nelle vicinanze di L abbiamo con ciò trovata una espressione sempli- 

 cissima del ds % . 



