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NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Nuova condizione necessaria per un estremo 

 di un integrale doppio. Nota I di Mauro Picone, presentata dal 

 Socio L. Bianchi. 



Nella mia Nota Nuova dimostrazione della necessità della condizione 

 di Jacobi, ultimamente apparsa in questi Rendiconti, della necessità di 

 detta condizione per un minimo dell'integrale semplice 



C X 2 



J(y) = f( x . y » y ) dx » y(*0 = yi i y&t) 



è data una dimostrazione che consente, conservando le solite notazioni im- 

 piegate in quella Nota, di enunciare la indicata condizione sotto questa 

 nuova forma : 



Teorema A. — Supposto R(#) > in (jci,a? f ), detta G (#,'£) 



funzione di Green relativa all'espressione differenziale ~ ^R e alle 



condizioni ai limiti u{x x ) — u(x z ) = (*), indicando con A(X) la funzione 

 intiera in l esprimente il determinante dell'equazione integrale di Fredholm 



u{x) = X f % G(à,r)A(£)w(£)d£, 



condizione necessaria affinchè l'estremale y = y Q (x) — alla quale si riferi- 

 scono le funzioni e A(x) — fornisca un minimo per l'integrale J(y) 

 è che l'indicata funzione intiera ( 2 ) non abbia alcuno zero interno all'in- 

 tervallo (0,1). 



Si ha pure che: 



Teorema B. — Se la funzione intiera A{X) risulta diversa dà zero 

 in tutto l'intervallo (0,1), estremi inclusi, l'estremale y = y (x) fornisce 

 certamente un minimo debole per l'integrale J(//) . 



Scopo della Nota presente, e di una successiva, è di mostrare che un 

 teorema, "perfettamente analogo al Teorema A, esprime una condizione ne- 



(') Cfr. Hilbert, Grundzùge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralglei- 

 chungen QTeubner, 1912J, pp. 39-58; Picone, Sui valori eccezionali di un parametro da 

 cui dipende un'equazione differenziale lineare ordinaria del second'ordine (Tesi d'abili- 

 tazione) [Annali della R. Scuola normale superiore di Pisa, voi. XI], pp. 73-88. Quivi, 



posto t{x , £ ) = [1 : R(j?)] dt] , si trova G{x , £) = t(x , x t ) t(x a ,£):t(x 2 , x t ) per x <. f ; 



J x 



tì(x , £) = t{x t J) t(x , x») : t(x 2 , x x ) per 



( 2 ) La quale, com'è noto, è priva di zeri complessi, ed ha il valore uno per A = 0. 



