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cessaria cui deve soddisfare una superficie estremale z = g (x , y) per l'in- 

 tegrale doppio 



affinchè con essa si possa effettivamente realizzare un minimo per l'integrale. 



1. Supponiamo regolare il dominio D al quale viene esteso l'integrale 

 J(z). Il contorno C di D sia costituito dalla curva esterna, regolare, sem- 

 plice e chiusa C e dalle curve interne, regolari, semplici e chiuse Ci , C 2 ...G,. 

 Detto s l'arco della curva d(i = , 1 , ... , r) , siano x = Xi(s) , y = yi{s) 

 (0<8< //), le equazioni paramediche della curva. Sia J il dominio dello 

 spazio definito dalle condizioni (x . y) in D,|*|<«. Supponiamo che la 

 funzione f(xyspg) sia definita nell'insieme T formato dalle quintuple di 

 valori x , y , 8 ,p , q , per ciascuna delle quali x , y , & esprimono le coordinate 

 di un punto di J , e p e q sono due numeri reali qualsivogiiano; e suppo- 

 niamo che la f si conservi continua in T , con tutte le sue derivate parziali 

 dei primi quattro ordini. 



Siano ora assegnate le v -f- 1 funzioni, di s , s = Zi(s) (i = , 1 , ... , v) . 

 Ciascuna funzione Si(s) sia definita nell'intervallo (0,/*), e sia ivi finita e con- 

 tinua con la sua derivata prima, sia periodica e di periodo li e soddisfi inoltre 

 alla limitazione \ si(s)\<Ca. La curva r t dello spazio, di equazioni paramediche 

 x = Xi(s) , y = y i(s); z = 2i(s) , sarà regolare, semplice e chiusa, avrà per biuni- 

 voca proiezione sul piano {x,y) la curva Cj e starà completamente nell'in- 

 terno dello strato 2 limitato dai due piani orizsontali z = — a e s = -f- a. 



Noi porremo nel modo seguente il problema di calcolo delle variazioni 

 per l'integrale J(z): 



Nell'insieme S delle funzioni, delle due variabili x e y, definite in D, 

 ivi finite e continue con le loro derivate prime e verificanti le condizioni 



(1) *IX*) ,#ì(s)]=*ì(s) , \s{x,y)\<_a, 



determinarne una tale che per essa l'integrale J(z) riesca un minimo. Tn 

 altre parole: costruire una porzione di superfìcie regolare aperta, di base 

 D, completamente interna allo strato 2, avente l'assegnato bordo T co- 

 stituito dalle v -f- 1 curve chiuse r , IV ... , 2\ . per la, quale t'integrale 

 J(z) realizzi un minimo nell'insieme S. 



2. Nelle ordinarie trattazioni di questo problema (') si consente alle 

 derivate prime delle funzioni z(x , y) — lasciando intatte tutte le altre con- 

 dizioni — di presentare in D, pur rimanendo limitate, delle discontinuità. 

 Precisamente si suppone che, per ogni funzione z = z(x , y) . verificante 

 sempre le condizioni (1), si po«sa decomporre il dominio D in un numero 

 finito di dominii regolari, in ciascuno dei quali la funzione riesca finita e 

 continua con le sue derivate prime, risultando inoltre la funzione continua 



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(') Cfr. Boha, Vorlesungen uher Variationsrechnung [Teubner, 1909], pag. 653. 



