in tutto D. L'integrale J(z) non perde, perciò, il suo significato rieman- 

 niano, ma già fin da ora si viene però a rompere l'analogia con la trattazione 

 che si suol fare dei problemi ad una dimensione di calcolo delle variazioni. 



Tale fatto è, parmi, in primo luogo, causato dal modo come finora si 

 ò dedotta la terza condizione necessaria — analoga a quella di Jacobi per 

 i problemi ad una dimensione — affinchè un'estremale per l'integrale 3(s) 

 fornisca effettivamente un estremo. A tale condizione è pervenuto il Som- 

 merfeld ('), estendendo il procedimento, dato da Sehwarz, per dimostrare la 

 necessità della condizione di Jacobi ad una dimensione. Estendendo, invece, 

 il procedimento da me seguito nella Nota sopracitata, si giunge al seguente 

 teorema, perfettamente analogo a quello qui enunciato in principio: 



Teorema A — Supponiamo che l'estremale z=g (x,y) per l'integrale 

 J(z), appartenendo all'insieme S, risulti in D finita e continua con le 

 sue derivate parziali dei primi due ordini, e che, posto 



/•„(* , v , h , ~j) = P(* . v) ■ . v . ». , |~' = Q.<* , v) , 



risulti, in D , 



RnO , y) > , Rii(# , y) R 22 (aj , y) — Bf 8 (a; , y) > , 

 e la funzione k(x , y) finita e continua con le sue derivate prime. Allora, detta 

 G{xy ,£17) la funzione di Green relativa all' espressione alle derivate parziali 



M 11 ~òy/ 1 3y\ 7)ic^ "ìy/ 



e alla condizione al contorno 



u(x , y) suG = , 

 indicando con A(X) la funzione intiera in X esprimente il determinante 

 della equazione integrale di Fredholm 



u(xy) = l J j^G(xy , grj) A(£jy) u{£>j) d$ dy , 



condizione necessaria affinchè l'estremale z = z<>(x , y) fornisca, nell'in- 

 sieme S, un minimo per l'integrale J(z) è che l'indicata funzione intiera ( 2 ) 

 non abbia alcuno zero nell'interno dell'intervallo (0,1). 



Nella Nota a questa successiva esporrò la semplicissima dimostrazione 

 di questo teorema. 



( 1 ) Jahresberichte der Deutschen Mathematikervereinigung [Bd. VII, 1899], p. 188. 

 Gii. Bolza, op. cit., p. 676. , 



( 2 ) La quale è priva di zeri complessi ed li a il valore uno per A = 0. 



