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Posto allora \u(x)\<^v , ed ammesso che sia 



P^f K<'> [*,#;<>] <ty = (>), (r=l,2,3,..., j p) 

 per la w 2 (a;) possiamo scrivere 



«.(a) = u(x) - X V K<*> [a , y ; Ml (y)] - K<" [a , y ; o] ! dy = 



= u(x) - X Y f ^ Ml (y) KX) [a , y ; w,(y)] dy ; (o < flcr) < 1} 



da cui si deduce 



I «,(*) I< r + I X | v X ■ ; ■ | K&jO , y ; fl« «(y)] | dy ; 



e, per la (2) della Nota precedente 



I u t (z) | < v + | A | pwv = v(l + (>) . 

 6. Per la w 3 (r) scriviamo 



u 3 (x) — w(.r) — 



_ x | r.?^) j K(r) [a , ^ y . + R(r) ^ ^ y . ) + ^ ^ 



dove 



p 



*(x) = - x j. I ^ ( ? K<r> [* . y ; M M] =* - 



- A f P;%(y) K2K [a , y ; «Or)] dy ; 

 con o <C #<r ) <C 1 ! e d anche, applicando il teorema del valor medio, 



u 3 (,) = u(x) — xf\ g ff xp^y) KS> [•'• , y ; <v) + ° { P %(y)ì dy.(o< w < i) 



E poiché 



| 4>(x) \ <C\X.\ pwv = ov , 

 supposto, pel momento, che sia | ift^x) | <C <x , avremo 



I " 3 (.'>') |< v + | X I jowpv 4- qv = v (1 -|- q + e s ) ; 

 e quindi anche 



lv.(*)lO(è+«')- 



7. Analogamente, per la w 4 scriviamo 



= u(x) — 



- X f \ 9 f^ j K <r) [a , y ; «(y) + y,(y)] - K«* [>,y ; M (y)] ! ^y + = 



= u{x) _ i f f> ( r) ^ [> , y ; 4. «jrV«(y)] % + •(■) ; 



(o<^)<1) 



(') Questa condizione non è essenziale; qui fu posta unicamente per semplicità. 



