si possa addivenire alla sua riduzione algebrica semplice in più modi es- 

 senzialmente distinti; mentre per una riducibilità algebrica di ordine supe- 

 riore si esigono di più altre condizioni espresse da relazioni difterenziali tra: 

 i coefficienti della quadrica data. 



Una interessante applicazione di questi risultati consiste nel determi- 

 nare le condizioni necessarie e sufficienti perchè una quadrica differenziale 

 positiva g> ad n variabili sia equivalente alla- somma di una quadrica, nella 

 quale appaiono soltanto i differenziali di n — 1 variabili e di un termine 

 quadratico nel differenziale di una «, ma variabile y . Si riconosce che, come- 

 fu dimostrato da Hadamard (') per le V 3 , esse coincidono con quelle, che 

 io dimostrai essere necessarie e sufficienti perchè la varietà V„ definita me- 

 tricamente da (p contenga una semplice infinità (di equazione y = costante) 

 di varietà V„_! totalmente geodetiche. 



E poiché altrove ( 2 ) ho dimostrato che, verificandosi questo caso, le 

 traiettorie ortogonali delle V n _! costituiscono una congruenza principale per 

 la V n , se la ennupla principale di questa è unica e determinata, si può 

 immediatamente riconoscere se il suo ds* sia riducibile alla espressione ca- 

 nonica voluta ed in che modo. 



Si vedrà ancora che l'essere nullo il rotore della curvatura geodetica 

 delle traiettorie ortogonali delle V n _! è condizione necessaria e sufficiente 

 perchè il parametro y delle stesse V„_! possa scegliersi in modo che il coeffi- 

 ciente di dy 2 nella espressione canonica suddetta sia indipendente da y. Salvo 

 gli adattamenti resi necessari dalla natura non definita delle quadriche, che 

 rappresentano il ds 2 delle varietà quadrimensionali (spazio-tempo) di Einstein 

 nel senso statico, tali varietà risultano così intrinsecamente caratterizzate. 



1. Perchè una quadrica differenziale 



n 



<p = y rs a rs dx r dx s 

 i 



sia algebricamente riducibile p volte, si richiede e basta che, posto m =- 

 = n — p, le variabili x x , x 2 , ... , x n si possano esprimere per n variabili 

 indipendenti y x , y% , ... , y m ; y m +\ ■■■ y n in modo che, posto 



Ù P<I = 2-rs ' 



i oy P oy q 



risulti 



(1) b pq = (p = l,2...n;q — m-\-l .*.«).. 



f 1 ) Sur les éléments linéaires a plusieurs dimensions. Tome XXV de la 2. e sèrie 

 du Bulletin des Sciences mathematiques. 



(*) Cfr. Ricci, Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque. Atti 

 del Reale Istituto Veneto di Scienze Lettere ed Arti, Tomo LXIII, Parte 2 a (Anno 1 903- 

 1904), pag. 1233. 



