E ciò esige che 



(2) X s = — (q = m + 1 , m 4- 2 , ... ») 



~òy q 



siano soluzioni proprie indipendenti del sistema di equazioni algebriche 



(3) y s « rs X s = (r = l,2,...n); 



i 



per il che si richiede poi anzitutto che, detta k la caratteristica del discri- 

 minante della forma <p, sia k<rn. 



In una Nota, che è in corso di pubblicazione negli Atti del R. Isti- 

 tuto Veneto, ho dimostrato che è inoltre per ciò necessario e sufficiente che 

 il sistema (3) ammetta n — m soluzioni indipendenti 



X s = A<j; s 



tali che il sistema di equazioni lineari a derivate parziali di 1° ordine 



__ s ^9- s ~ (q = m -\- 1 , m -\- 2 , ... n) 



i ~ò%s 



risulti completo: e che, soddisfatte tali condizioni, si soddisfa alle ( 1 ) assu- 

 mendo come variabili ?/, , y t , ... , //,„ m integrali indipendenti di questo 

 sistema. 



In particolare la condizione k<^n, oltre che necessaria, è anche suffi- 

 ciente per la riducibilità semplice algebrica della forma (p; e se 



X s = A s 



è una qualunque soluzione propria del sistema (3), per dare a <p una espres- 

 sione della forma 



xp == V b pq dy p dy q 



l pg 



basterà ad sostituire n variabili indipendenti y x ,y it ... ,y n -i; y n 



tali che le prime n — 1 di esse soddisfacciano alla equazione 



Ì,A,ì = 0. 



1 ~i%s 



Evidentemente se è k <^n — 1 , una tale riduzione di q> si può otte- 

 nere in più modi ; possiamo dire in n — k modi essenzialmente distinti ; 

 ed è possibile una ulteriore riduzione di xp nel modo sopra indicato per g>. 

 La nuova ridotta, che conterrà soltanto i differenziali di n — 2 variabili in- 

 dipendenti, potrà però considerarsi come una ridotta di y se i coefficienti 

 di xp saranno indipendenti da y n ed in questo caso soltanto. 



Concludiamo che perchè una quadrica differenziale sia riducibile alge- 

 bricamente due volte, è necessario e basta che sia k <n — 2 e di più che 

 essa sia riducibile assolutamente una volta sola. 



