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è una tale soluzione ed //, , ?/ s , .■. , )/„_, ,y' n sono funzioni indipendenti di; 

 soddisfacenti tutte, eccettuata l'ultima, alla equazione 



V A -^ = 

 1 «I 



sono insieme soddisfatte le (5) e le (6). 



3. Data ora una quadrica differenziale positiva 



ri 



ip = y^ rg g rs dx r dx s , 

 i 



proponiamoci di riconoscere se e come essa sia esprimibile sotto la forma 



V = Vo + H 2 dy* , 



essendo ip una quadrica differenziale ad n — 1 variabili. 



Se si osserva che la quadrica xp — H 2 dy 2 deve essere riducibile, è fa- 

 cile prima di tutto riconoscere che nella varietà definita metricamente da xp 

 deve esistere una congruenza di sistema coordinato covariante 



(7) A r = H^ 



e conseguentemente normale perchè costituita dalle traiettorie ortogonali alle 

 sottovarietà di equazione y = costante. 



Designeremo talora con X njr il sistema X r ed alla congruenza X o X n 

 assoderemo altre n — 1 congruenze X { (i — 1 , 2 , ... , n — 1) costituenti con 

 essa una ennupla ortogonale. Risulterà così 



n 



ipo = ^_ rs a rs dx r dx s 



t 



valendo per i coefficienti di xp Q le espressioni 



n-l 



(8) a rs = 2_ i Xi/ r Xi/ S ; 



dalle quali risulta che il suo discriminante a è eguale a , avendo precisa- 

 mente n — 1 come caratteristica, e di più che è 



f s X lsì a rs = . 

 i 



La xp è dunque semplicemente riducibile, e se ?/, , y 2 , ... , //„_, costi- 

 tuiscono un sistema fondamentale di integrali per la equazione 



essa si esprime pei differenziali di y x , ?/ 2 , ... , y n _ x soltanto. 



(9) 1,^ = 0, 



1 0X r 



