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In base alle (8), le condizioni di assoluta riducibilità dateci dal para- 

 grafo precedente, che nel nostro caso assumono la forma 



f t V" <w = o, 

 i 



si traducono immediatamente nelle 



ti hr ± t 1« - + fi L - 



che equivalgono alle 



/ ^ (f> 2_« ) ^il risiiti — Xi/st) "f- ^t7s(^i/(r — ^i7r«) / • 

 1 1 ( J 



Sostituendo infine alle X Vst le loro espressioni in funzione delle rota- 

 zioni Ym 



n 



h si = ^~ hJ[ Yihh Xh/s %k/t i 

 1 



queste assumono la forma 



n-l 



7 ih (Ynih + /nhi) Kir ^fc/s = 

 1 



ed equivalgono alle 



Ynih + Ynhi = 0" , 7i = 1 , 2 , ... , n — 1). 

 E se si tien conto (') che, per la normalità della congruenza A, val- 

 gono le relazioni 



Ynih Ynhi i 



si conclude che le relazioni cercate sono rappresentate dalle 

 (10) y nih = (»,A — 1,2,. 1) 



le quali devono essere soddisfatte comunque si scelgano le « — 1 congruenze A,-, 

 che associate alla X nella varietà V n metricamente definita dalla forma g>, 

 devono costituire una ennupla ortogonale. 



E poiché le (10) ( 2 ) rappresentano anche le condizioni necessarie e 

 sufficienti perchè nella varietà V n , la cui metrica è determinata dalla 

 forma tp , le sottovarietà di parametro y siano totalmente geodetiche, con- 

 cludiamo che la detta forma tp è suscettibile della espressione canonica 

 sopra assegnata, soltanto se la V M contiene una famiglia semplicemente in- 

 finita di V„_! totalmente geodetiche. 



4. Proponiamoci ancora di riconoscere sotto quali condizioni il coeffi- 

 ciente H 2 , che appare nella detta espressione di tp , per una opportuna scelta 

 del parametro «/, possa riescire indipendente da y\ che è quanto dire sod- 



(*) Cfr. Ricci. Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque. 

 R. Accademia dei Lincei, Memorie della Classe di Scienze fisiche ecc., voi. II, § I, 9. 



( 2 ) Cfr. Ricci, Sulle superficie geodetiche in una varietà qualunque ecc. Questi 

 Rendiconti, voi. XII, pag. 409. 



