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NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Sulle serie di polinomi di una variabile 

 complessa. Nota di N. Abramescu, presentata dal Socio T. Levi- 

 Civita. 



I. Le serie di polinomi, P„(x), appaiono come mia generalizzazione 

 della serie di Taylor, ^«„i n . Lo studio delle serie di polinomi si può fare 

 da due punti di vista. Primo, si dà una funzione f{x), regolare in un campo 

 limitato da una curva chiusa (C), con connessione semplice, e si richiede 

 uno sviluppo in serie di polinomi della funzione f(x), valevole solamente 

 nell'interno della curva (C). Questo problema è stato completamente risolto 

 dimostrando che lo sviluppo è valevole solamente nell'interno della curva (C), 

 i polinomi P n (%) dipendono esclusivamente dal contorno (C), mentre i coeffi- 

 cienti a» dello sviluppo dipendono e dal contorno (C) e dalla funzione f(x). 



Un altro punto di vista dello studio delle serie di polinomi è anche il 

 seguente. Data una successione di polinomi, P (a) , ¥\{x) , ... , Pn(a') , ... , di 



gradi uguali agli indici, come pure i coefficienti a , a , a n , ••• , si chiede 



la regione di convergenza della serie ^a n '? n {x). Questo problema ha comin- 

 ciato ad essere studiato 45 anni or sono da Darboux ( 2 ) e da Poincaré ( 3 ). 



Nel presente lavoro studio il problema posto per la prima volta da 

 Darboux (*), nella Memoria citata, cioè considero le serie di polinomi 

 i polinomi V n (x) essendo definiti dalle relazioni di ortogonalità 



g>(x) P„(#) Pn(#) dx = , ra=^«; <p{x)?l{x) dx = \ n = coììV assegnate, 



dove tp(x) designa una funzione positiva ed integrabile nell'intervallo (a,b) ( 5 ). 



(*) Faber, Ueber polynomische Entivickelungen (Math. Annalen. 1903, pag. 389: 1907, 

 pag. 118); N. Abramescu, Sur les séries de pol'jnomes à une variable complexe (Bulletin 

 de la Société des Sciences de Cluj, Romania, 1921). 



( 2 ) Mémoire sur Vapproximation des fonctions de très grands nombres et sur une 

 classe étendue de déueloppements en sèrie (Journ. de Mathém. pures et appliquées. 1878) 



( 3 ) Sur les équations linéaires aux di/férentielles ordinaires et aux différences 

 finies (American Journal of Matematics, voi. VII); Pincherle, Sui sistemi di funzioni 

 analitiche .... (Annali di Matematica, II, voi. XII). 



( 4 ) Per questo le chiamo Serie di Darboux e non serie di polinomi ortogonali come 

 le chiamano i tedeschi. 



( 3 ) Queste serie sono state considerate anche dal sig. Picard nel suo corso di Ana- 

 lisi superiore alla Sorbonne (Paris) nel 1918. 



Rendiconti. 1922. Voi. XXXI, 1° Sem. 



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