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II. 1°. Cominciando con lo studio dei polinomi F„(x), dimostro che il 

 i polinomio P«(«) si può mettere sotto la forma 



BP»(a;) = 



D»-.(9>) 



xg* — g x xg x — g 2 

 x(h — 9-- XQ». — 9s 



•Egn—1 9n 



%9>i — ^«-m 



^n-i 9u xg n — ■ g n -*ì • ■ xgìn-2 — gm-x 



jWg) 



D«-i(SP) ' 





9o 



9i 



... g n 



D„(y) = 



ff\ 



9* 







9n 



9n+i 



■ • 9%n 



[x — t) tp(t) 



- 9* 



-r, 



che D„_,(F) e D,,.,^) sono i determinanti delle forme quadratiche 



f sp(0(yoH h^-W"- 1 ) 2 tó = 2ÌSfe+«yi»y«» j»,? = o.i ,...»— -i. 



2°. Analogamente il polinomio P n (a?) si può mettere anche sotto la 

 seguente forma 



1 1 d n 



P«(aO - 



1-2... »(* — «)" y(a:) rf# n 



V> w (#) essendo una funzione finita per x = a ed x = b . 



III. In ciò che segue, studio quelle serie di polinomi V yì (x) ai quali cor- 

 risponde la stessa funzione xp n {x) indipendente da n, che indico con tp{x). 

 In questo caso la funzione q>(x) è la soluzione comune di un numero infi- 

 nito di equazioni integrali 



ip(x) = 



(b — a) n n 



{x — a) n (x — b) 



■ \{x - s)"- 1 (p(s) l\(s) dz 



Studio anche il caso ip n (x) = g>(x) , e ritrovo tutti i polinomi conosciuti 

 di Legendre, Jacobi, ecc. 



Oltre alle proprietà conosciute dei polinomi P n (#), trovo ancora le 

 seguenti. 



1°. Il polinomio F n (x) è il coefficiente di t" nello sviluppo in serie 



di t dell'espressione — , z essendo la radice dell'equazione 



tp(x) ~òx M 



