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che si svolge con la forinola di Lagrange ; questa espressione è una funzione 

 generatrice per i polinomi P„(x). 



2°. Se <p(x) — tp(x) = (x — a) K (x — b)v- , X + 1 > , ,u + 1 > , 

 il polinomio P„(.r) verifica una equazione differenziale di 2° ordine, lineare, 

 la seconda soluzione della quale è 



1 f 6 



'se — a)~ x (x — b)~v- (t — a) n+x {t — b) n +V- {t — x)-"- 1 dt 



J a 



n\(b — a) n 



3°. Indicando con c n , n > £»,?>-! i coefficienti di x n ed x n ~ l del polinomio 



P»(ac), si può precisare la relazione di ricorrenza fra tre polinomi consecu- 

 tivi che, nel nostro caso, è 



P^x) — (x- cc n ) ? n (x) + In P„_^) = , 



r _ / ii« £rh!L 



- f (a; — a) n (x — è)" V(a5) dx , «„ = ^ LJ — C "^''" . 



•Va £n,n £n-t-i,?i+l 



4°. Ricerco quindi il dominio di convergenza della serie di Lagrange, 

 in generale, e poi nel caso del nostro sviluppo. Servendomi del metodo di 

 Darboux per la determinazione del valore approssimato del termine generale 

 della serie di Lagrange, dimostro che il valore approssimato del polinomio 

 P«(x) (dopo aver fatto un cambiamento di variabile in modo che ai limiti 

 a e b corrispondano ed 1) è 



P»(») = *P(£) n 2 r +1 (l + e) , f = 1 — 2x + J/^ — 4z , 



*P(?) essendo una funzione indipendente da n e da * . Trovo in pari tempo 

 i valori assintotici dei coefficienti <?„,„ , c„, n -i • 



IV. 1°. Le curve di convergenza delle serie considerate sono ellissi 

 omofocali, con i fuochi in a e b che ottengo valendomi del valore prossimo 

 del polinomio P„(x). 



2°. Le stesse curve di convergenza le trovo anche osservando che P„(x) 

 è il coefficiente del termine generale della serie di Lagrange studiata. 



V. 1°. Passo poi allo sviluppo in serie di polinomi P„(x) di una fun- 

 zione f(x) regolare in una determinata regione. Considero il caso partico- 

 lare dello sviluppo 



if ' 1 '•n 



9>(t) P«(*) dt 



1 — y 



e faccio lo studio delle funzioni di seconda specie, Q n {y), di Darboux. 



2°. Determino la relazione di ricorrenza che è verificata dalle fun- 

 zioni Q„(y). 



