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appunto fa Hilbert nel caso da lui considerato) l'esistenza, per il dominio 

 della funzione di Green, relativa alla stessa condizione al contorno e alla 

 espressione J^u ( x ) . 

 Indicando con 



g(xy — QA®y < ity) — 9Ì x v > *v) ìo s )/ (£ — x f-\- (y—y)* ' 



la funzione che, per ogni punto (x , y) , interno a D, rappresenta, nelle va- 

 riabili £ e rj, la soluzione fondamentale dell'equazione L(m) = 0, nulla su C, 

 si trova che l'indicata funzione di Green è data da 



^{xy.crj, n ^ ^ + Bm ^j ' 



ed inoltre che, se y(£C . //) rappresenta una qualsivoglia funzione definita in 

 D, continua <'on le sue derivate parziali del primo ordine, ogni solu- 

 zione finita e continua iu D con le sue derivate parziali dai due primi- 

 ordini delle due equazioni 



(1) h(u) + g>(x . //) = , u su C=0, 



è data da 



(2 ) u{xy ) = J | G(## , fi?) <jp(£i? \d£dy, 



e, viceversa, dalla (2) segue la continuità in D di u e delle sue derivate 

 parziali dei due primi ordini, e seguono le (1) . 

 2. Consideriamo ora l'equazione 



(3) L(u) + AAtt *= , 



contenente il parametro X , ove la A designa una funzione definita in D , 

 ivi finita e continua con le sue derivate parziali del primo ordine. Sia X n 

 un autovalore di X relativo alla condizione al contorno wsuC = 0, e sia 

 u n l'autosoluzione corrispondente, la quale potrà dipendere, linearmente ed 

 omogeneamente, da parecchie costanti arbitrarie ( 2 ). Questi autovalori dànno 

 tutti e soli gli zeri della funzione , intera in /, esprimente il deter- 



( x ) Senza far questa ipotesi, introducendo però altre ipotesi qualitative, più restrit- 

 tive per il contorno di D e per i coefficienti diL(w), si perviene facilmente all'esistenza 

 della indicata funzione di Green, anche con i procedimenti di E. E. Levi, da lui dati 

 nella Memoria / problemi dei valori al contorno per le equazioni lineari totalmente 

 ellittiche alle derivate parziali. (Memorie della Società italiana delle scienze, toni. XVI, 

 serie 3»), pp. 61-70. 



( 2 ) E ben nota l'esistenza di un'infinità di autovalori. Essi sono tutti reali ed hanno 

 il punto oo per unico punto limite. All'esistenza ed al calcolo degli autovalori e delle 

 autosoluzioni si perviene anche mediante una facile estensione dei procedimenti da me 

 dati nella mia Tesi d'abilitazione (citata nella Nota I) ai n. 29, 30 e 31. 



