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minante dell'equazione integrale di Fredholm 



(4) u(xy) = X j j G{xy , A(^) w(£r,) dt dt] , 



cioè gli autovalori X n sono tutti e soli gli autovalori di X per questa equa- 

 zione. Le autosoluzioni della (3) dànno tutte e sole le autosoluzioni della (4) 

 Dalla (3) e dalla w„suC = 0, si deduce 



,5) a. f £ Auì ir, «, = f £ [ Bll (^) ! + 2 B„ f f + 



+ R 22 ^-^ j J flte rfy — j^J Bw* dx dy , 



e quindi, per X„ > , 



(6) j"£ Am* ete dy>Ò. 



3. Per dimostrare il Teorema A, dovremo considerare la L(u) nel caso 

 particolare B = 0. Sia s = g (x,y) l'estremale per l'integrale J(*), a cui 

 si riferiscono le funzioni R u , R 12 , R 22 , A . Per ogni autosoluzione u„, si 

 può determinare un numero positivo q„ tale che, per |e|<^p n , la superficie 

 g = z -\~su n appartenga all'insieme S e, di più, la differenza 3(s -\-£u n ) — 

 — 3(z ) abbia il segno di 



-j- R 22 ^-^j dx dy — j" j ku% dx dy . 



Supposta non soddisfatta la condizione espressa dal Teorema A , indi- 

 chiamo con X , X l , ... , X h gli autovalori di X interni all'intervallo (0,1); 

 si avrà allora, in forza delle (5) e (6) ,' l(u n ) <C , pei" n = , 1 , .... , 

 e quindi, 



per | « |< ?» , J(2„ + « ««) — J(* ) < (« = 0,1, ... , k) . 



La superficie 2 = z {x , y) non potrà dunque fornire un minimo, nel- 

 l'insieme S, per l'integrale 3(z). 



4. Poiché le funzioni * e z -\-su„ risultano in D finite e continue 

 con le loro derivate dei primi due ordini, possiamo osservare che: 



La condizione, espressa dal Teorema A, per un minimo dell'integrale 

 3(2), è necessaria anche se il minimo deve aver luogo solamente per quella 

 porzione dell'insieme S , costituita dalle superficie z = z(x , y), per le quali 

 le funzioni s(x , y) sono in D finite e continue con le loro derivate par- 

 ziali dei primi due' ordini. 



