— 97 — 



5. Domandiamo, ora, in primo luogo, la condizione necessaria, espressa 

 dal Teorema A, è forse equivalente a quella data dal Sommerfeld (loc. cit. 

 nella Nota I)? Tale equivalenza si riscontra nel caso particolare che D si 

 riduca ad un rettangolo o ad un cerchio e che in D sia R a = , Ki i = R 2g = 1 , 

 A(x,y) = k*, con k costante. Il rispondere ora, in tutta generalità, alla 

 domanda posta, appare assai difficile. Occorrerehbe possedere — ciò che 

 avrebbe, anche per di sè, un grandissimo interesse — più precise nozioni 

 sulle linee di D, luogo, per i vari valori di A, dei punti di zero delle so- 

 luzioni della (3) . 



Domandiamo, in secondo luogo, per un minimo debole dell'integrale 

 3(s) è sufficiente la condizione espressa dal Teorema B enunciato in prin- 

 cipio della Nota I ? È sufficiente, cioè, che la funzione intiera A(X) si con- 

 servi sempre diversa da zero, in tutto l'intervallo (0,1)? Per rispondere 

 affermativamente basterebbe dimostrare che, soddisfatta questa condizione, 

 se cioè A(X) > per < X < 1 ? l'equazione L(w) -f- ku = possiede una 

 soluzione sempre diversa da zero in tutto D. Di ciò mi propongo di trat- 

 tare in una Nota futura. 



Matematica. — Sulle successioni di funzioni assolutamente 

 continue, convergenti in media. Nota di Carlo Severini, presen- 

 tata dal Corrispondente 0. Tedone. 



Mi propongo d'indicare in questa Nota un criterio notevole per ricono- 

 noscere la convergenza uniforme di una successione, convergente in media, 

 i cui termini siano funzioni assolutamente continue, aventi derivate som- 

 mabili insieme coi loro quadrati. Il criterio ha particolare importanza per 

 lo studio delle serie di funzioni ortogonali e normali, soddisfacenti alle 

 condizioni ora dette. 



1. Le funzioni : 



(1) M*) (>' = 0,1,2, ...) , 



definite in un intervallo fluito (a,b) (a<^b), siano ivi assolutamente con- 

 tinue, abbiano le derivate sommabili insieme coi loro quadrati, e costitui- 

 scano una successione convergente in media, rispetto ad una funzione carat- 

 teristica p(x) misurabile, limitata, avente un limite inferiore l maggiore di 

 zero, tale cioè da avere, essendo p un numero intero positivo qualsivoglia, 

 indipendente da n: 



(2) lim V p{x) Yf n {x) — fn+ P (sc)J dx = . 

 Rendiconti. 1922. Voi. XXXI, 1° Sem. 13 



