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Sussiste allora il seguente teorema, che contiene il criterio dianzi ac- 

 cennato. 



La successione (1) converge uniformemente nell'intervallo (a , b) ad 

 una funzione limite continua f (x) , se : 



lim | £ — fn+ P (x)J dx . \jn{x) — f' n +p{x)J de | = ; 



in particolare se risulta, qualunque siano n e p: 



£ ^/»(#) — AV<-i>(#)^j okg — C (C costante). 



Essendo un punto qualunque di (a , b) , si può infatti scrivere : 



— J = \jn{x') — MX'VJ + 



+ 2 - fn+P®^ [f'n® - f'n+P (?)] # , 



e quindi per la disuguaglianza di Schwarz : 



A + ,(^)J ^ ["/;(»') - /u P (#')T + 



ed a maggior ragione: 



ff»(x) - /W^) J < [a(s')-A+* (*') J + 



Poiché è lecito supporre che sia x un punto di minimo assoluto per la fun- 

 zione — /'„+p(^)^j , risulta ancora : 



\jn{x) — f n+p {x)J < {b l a)l [ b pW[_MS) - fn+ P (S)J # + 



2_ 

 fi 



Questa disuguaglianza sussiste, qualunque siano??,/? ed x in (a,b), e 

 serve senz'altro, a causa della (2) , a provare che, nelle dette ipotesi, la (1) 

 converge ivi uniformemente. 



