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2. Si consideri ora una successione infinita di funzioni assolutamente 

 continue, aventi derivate sommabili insieme coi loro quadrati nell'intervallo 

 (a,b): 



Y k (x) (k =0,1,2,...), 

 le quali siano ortogonali e normali rispetto alla funzione caratteristica p{x) » 

 tali cioè che si abbia : 



se li =k= k 



p(x)V h {x)Y h (x)dx=\ 



a i 



il se h = k . 



Si consideri inoltre una successione infinita di costanti reali : 

 A„ (k = 0,1, 3,...), 

 soggette alla sola condizione, che converga la serie dei loro quadrati : 



o 



Poiché la successione: 



(3) 8n{x) = f h A k V h (x) (n = , 1 , 2 , ...) 







risulta convergente in media, rispetto alla funzione caratteristica p(x), essendo: 

 f p{x) pSl^cc) — S B+ j,(ar)J dx = 



= P( x ) I Z* A * W = Z * A * . 



■'a 1 n-t-1 I n-t-1 



può applicarsi alla (3) il precedente teorema, e se ne deduce senz'altro che 

 la serie 



00 



Z* A * V h (x) 



converge uniformemente nell'intervallo (a , b) , se : 



lim )(± k K • Z* A * V *(*) ^ = 0; 

 in particolare se, qualunque siano n e p , risulta: 



I TjArV^ìc) dx-^LC (C costante). 



3. Vari problemi di fisica matematica si riducono alla determinazione- 

 in un intervallo (a,b), di funzioni: 



U*(aO (* = , 1 , 2 , ...) , 

 soddisfacenti ad equazioni della forma: 



(4) V' k '(x) + [A* ?(x) - r(x)] »*(x) = (A = 0,1,2,...), 



