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ed a condizioni ai limiti, espresse da relazioni del tipo: 



I<h) j«. o*(fl)+«rD;(a)+fl,u»(*)+.«4u;(*) = o (J , = 012 



ove ^(a;) ed r(x) sono due funzioni note, continue, di cui la prima è anche 

 maggiore di zero in ogni punto di (a , b) ; A* è un parametro indeterminato, ed 



a s , b s (s = 1 , 2 , 3 , 4) 

 sono costanti assegnate, per le quali si ha: 



o-i b t — a 2 ài = ( h b 4 — a 4 bz • 



È noto ( l ) che esistono infiniti valori reali del parametro X h (numeri 

 'Caratteristici), per ciascuno dei quali l'equazione (4) ammette uno o più 

 integrali, in numero finito, linearmente indipendenti (funzioni fondamentali), 

 che soddisfano alle (5), e di cui due qualsivogliano, corrispondenti a nu- 

 meri caratteristici diversi, sono fra loro ortogonali rispetto alla funzione 

 caratteristica q(x). 



Mediante il metodo di ortogonalizzazione si può allora assegnare una 

 successione di numeri caratteristici : 



A h (k = 0,1 ,2,...), 



disposti per moduli non decrescenti, intendendosi ogni numero caratteristico 

 ripetuto tante volte, quante sono le funzioni fondamentali, linearmente indi- 

 pendenti ad esso relative, ed una corrispondente successione di tali funzioni: 



(6) W*(tfj (# = 0,1,2, ...) . 



ortogonali e normali rispetto alla stessa funzione caratteristica q(x). 



Poiché il sistema delle (6) risulta chiuso (*), il problema della rap- 

 presentazione di una funzione f(x), sommabile insieme col suo quadrato in 

 (a , b) , mediante la serie : 



(7) L>B k W»(aO, B*= {\(x)f(x)YT H (x)dx, 



y a 



si riduce ( 3 ) alla ricerca delle condizioni, sotto le quali questa serie con- 



t 1 ) Cfr. W. Stekloff: Sur certaines questions d'Analyse, qui se rattachent à plu- 

 sieurs problémes de la Physique Mathématique [Mémoires de l'Académie Impóriale des 

 Sciences de St. Pétersbourg, Vili sèrie, classe physico-mathématique, voi. XXXI, n. 7 

 (1913)]. 



( 2 ) Cfr. Stekloff, 1. c. (1), Chap. II, n. 11. 



( 3 ) Cfr. C Severini: Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali [Atti del- 

 l'Accademia Gioenia di Catania, serie V, toI. Ili, (1910), Memoria XI]. 



