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§ 5. Sia (') F,ji il campo elettromagnetico e (§p •, 9>i » <Pt , 93) il ten- 

 sore di primo ordine «potenziale» di F, s , in modo che sia F<* = y,* — g> h( . 

 Poniamo <p = <p e chiamiamo w il vettore di componenti , <p t , <jp 3 . Si 

 avrà intanto : 



F01 i -j.,. F23 J 



F 08 = grad sp - ^ ; F 8I — rot » , F« = , F« = — P M , 



F 03 i ^ F„ 



parimenti 

 F oi j F (23) 1 



F°* = i ( — grad g> -j- — ) , F (31) \ = — rot « , F« f > = , F«*> = — F (Si) 



]?03 \ a\ ~òt / JH12>J 



e quindi 



Sia rfw l'elemento di ipervolume di V 4 . Avremo 



do) = \' — Il g ik || dx dx x dx 2 dx 3 = f/a d£ 



dove dr = dx dy clz è l'elemento di volume dello spazio. 

 Si ha anche: 



2 (fi dxi = (p dt + udM dM. = (dx , dy , ds) . 



Prescindendo dall'azione del campo metrico, la cui variazione è nulla 

 perchè lo riguardiamo come dato a priori dalla (9), l'azione prenderà la 

 seguente forma: 



W = \ ( Z F « F<<ft) dw + \ de f Z 9t dx i {ds 



4 J u> ih J e J i 'in J 



{de = elemento di carica elettrica\ 

 \dm = elemento di massa / 



Introducendo le notazioni indicate, si trova 

 (11) W = \ fj | rat 1 u-U grad J j/a A rfr + 



+ jjf fip -j- m X V,J ? <fr <fr + JJ |/a-V|, k dr dt, 



dove £ , k sono rispettiv. le densità di elettricità e di materia, per modo 

 che de = q dr , dm = k di , V L è la velocità delle cariche elettriche, Y u 

 quella delle masse. 



Gli integrali del secondo membro possono estendersi ad un campo ar- 

 bitrario x tra due tempi qualunque f, ti . Si ha poi il vincolo che sul con- 

 torno del campo r, e per i due tempi f, ti, siano nulle tutte le variazioni. 



(') Per le notazioni e per la deduzione Hamiltoniana delle leggi della fisica, vedi 

 WeyL op. cit., pp. 186 e 208. 



