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All' infuori di queste condizioni, le variazioni di <p e di u sono comple- 

 tamente arbitrarie. Per contro, alle variazioni di x.y,2, considerate come 

 coordinate di un elemento di carica o di massa, possono essere imposte ulte- 

 riori condizioni, traducenti i vincoli del particolare problema che si sta stu- 

 diando. Scrivendo intanto che è nullo duo per una variazione qualunque ótp 

 •di <p , si trova 



= —jj ^gradjp— |jjX<Tgrady^|^-f- Jj óg> q di dm. 



trasformando il primo integrale con opportuna applicazione del teorema di 

 Gauss, e tenendo presente che è(p si annulla sul contorno, troviamo 



o=J r :»,^ + div[i( gra d r -^)]j*^ 



e, siccome d<p è arbitrario, abbiamo intanto l'equazione 



< 121 '<+H[^H*-?)]h°- 



In modo analogo, facendo variare u , si trova 

 (13^ q V L + rot (Va rot u) — ^ Q-^ (grad <p - -= . 



Queste due ultime equazioni permettono di determinare il campo elet- 

 tro-magnetico, una volta assegnate le cariche ed il loro movimento. 



Un altro gruppo di equazioni si può ottenere facendo variare in W le 

 traiettorie delle cariche e delle masse. Siano rfP M la variazione della tra- 

 iettoria delle masse, <JP L quella delle cariche. Indichiamo inoltre, essendo 



u un vettore funzione di punto e V un vettore, con ( V) il vettore di 



componenti V a -j- Y y -|r— ^ Vs ed analoghe. Scrivendo che è nulla 

 la variazione di W, si trova allora, coi soliti artifici: 



(14) JJ (tfP, t X grad cp - <fP L + + ^(V,)) + V L X ^(JP,)) ? .A M + 



Se i (JT ad un tempo non dipendono da i loro valori, per altri tempi 

 dovrà essere nullo in (14) il coefficiente di dt. Si trova così: 



(15) J"j <TP L X grad g> - *P L F^ + + V L X ^(<?P L ) j Q dv + 



<che deve essere verificata per tutti i sistemi di àV soddisfacenti ai vincoli. 



