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NOTE PRESENTATE DA SOCI 



Matematica. — Sulle serie di polinomi di Darboux e di 

 Poincaré. Nota di N. Abramescu, presentata dal Socio T. Levi- 



ClVITA. 



In una Nota testé apparsa in questi Rendiconti (') ho indicato alcuni 

 risultati da me conseguiti in uno studio sistematico delle serie di polinomi 

 nel campo complesso. Chiedo il permesso di completare il riassunto delle 

 mie ricerche riferendomi senz'altro alla Nota precedente per il significato 

 dei simboli e per la numerazione dei §§ . 



VI. Valendomi del valore assintotico di 1„ , trovo un altro modo di 

 determinare la regione di convergenza delle serie di Darboux, servendomi 

 della relazione di ricorrenza fra tre polinomi consecutivi, osservando che 

 queste serie sono un caso particolare delle serie di Poincaré ( 2 ), dove esiste 

 una relazione tra k polinomi consecutivi. 



U h h;) -f- R,_, ?n+*-Ax) H h RoOk) V„(x) = , Y H (x). 



Con uno qualunque di questi tre mezzi, ottengo le curve di convergenza 

 per mezzo di una trasformazione conforme ( 3 ). 



VII. Servendomi dei valori prossimi di P n {x) e Q,„(x) . dimostro che 



lo sviluppo in serie di polinomi P„(a;) dell'elemento di Cauchy, — — . è 



valevole nell'interno dell'ellissi coi fuochi in <> ed 1 (oppure a e b) che 

 passa per ?/. Arrivo in questo modo a dimostrare che una funzione f(x), 

 regolata nell'interno di una corona determinata da due ellissi omofocali, coi 

 fuochi ìd a e b, ai sviluppa in serie di polinomi ?„(x) e funzioni Q„(ar), 



fise) = 2 A « p »(^) + 2 B >< Q«(») . 



k »=-àrJ/w^ d « • B »=-<^J>> P ^- 



( 1 ) Fase. 3°, 1° sem. 1922, pag. 89. 



( 2 ) Vedi la Memoria dell'America!! Journal (voi. VII) già citata nella Nota precedente. 



( a ) Bisogna osservare che il metodo del sig. Paber, di studiare la regione di conver- 

 genza delle serie di polinomi per mezzo di una transformazione conforme, è stata pro- 

 posta, 45 anni or sono, da Darboux, coll'occasione dello studio del caso particolare 

 nel quale il polinomio P n (x) e quello che risulta dalla serie ipergeometrica. 



