— 153 — 



Vili. 1°. Studio infine il caso generale delle serie di Darboux? 

 '^('n'Ppnix), il polinomio ( J ) ? pn {x) essendo d&p.d equazioni lineari 



I a " (p{x) x s P P n(z) dx = , q = , 1 , ... p ; s = , 1 , ... n — 1 , 



J(lq— i 



p ed a <C «i <C ••• <C essendo numeri dati, e <jp(#) una funzione positiva 

 e integrabile negli intervalli (a . «0 , ... . {^ p -i , a p ). 



2°. I risultati che trovo sono strettamente connessi con l'espressione 

 che ho ottenuto per il polinomio P p „(x), 



?pj * ] ^ a~\^{x) £» \j x ~ ft ° v ' {x ~ ai)n - {x ~ ap)n ^" {x) ~\ " 



3°. Considerando, come nel caso p = 1 , le serie di polinomi P iJM (,r) 

 ai quali corrisponde la funzione tp„(x) indipendente da n, risulta che <p{x) 

 è soluzione comune ad un'infinità di equazioni integrali. In questo caso, 

 come nel caso quando <p(x) = tp n (x) . dimostro che il polinomio P pn (x) è il 

 coefficiente del termine generale di una serie di Lagrange. 



4°. Che questo polinomio verifica un'equazione differenziale lineare, di 

 ordine (p-\-l), completamente integrabile. 



5°. Trovo il valore prossimo del polinomio P p)1 (#) ; infine trovo il do- 

 menio di convergenza delle serie generalizzate di Darbous, ^a H P pn {x). 



6°. Nel caso y>(x) — ip„{x) =1 , a = — 1 , fti = , a t = 1 , ritrovo 

 i polinomi del sig. Appell ( 9 ) 



P2 " ( * )= *!'£^ n(1_ * 2) "]' 



ai quali trovo una funzione generatrice, un valore prossimo e il dominio di 

 convergenza delle serie 2 ¥ ìn {x) . 



(*) Vedi certe proprietà di questi polinomi nella Nota del sig Angelescu. Sur une 

 classe de polynómes à une variable (Comptes Rendus, t. 162, Janv. 1916). 



( 2 ) Appell, Sur une suite de polynómes ayant toutes leurs racines réelles [Archiv 

 der Mathematik und Physik, 1 (1901), pag. 71]. 



